Questão 153 do ENEM 2010 — Matemática

Compreensão do Problema

A questão pede para determinarmos a quantidade aproximada de garrafas utilizadas durante as $24$ horas em que a máquina de encher garrafas apresentou defeito. Para isso, precisamos relacionar o volume total de líquido produzido nesse período com o volume de líquido que foi depositado em cada garrafa.

Volume Total Produzido

O enunciado nos informa que a empresa produz um volume constante de $1\ 800\ 000\ \text{cm}^3$ de líquido por dia. Como o defeito durou exatamente $24$ horas (ou seja, $1$ dia completo), o volume total de líquido envasado de forma incorreta foi de: $V_{\text{total}} = 1\ 800\ 000\ \text{cm}^3$

Volume de Líquido por Garrafa

Durante o defeito, o líquido atingiu apenas a altura de $12\ \text{cm}$ em cada garrafa. Como a parte inferior da garrafa tem formato cilíndrico, podemos calcular o volume de líquido em uma única garrafa usando a fórmula do volume do cilindro: $V_{\text{garrafa}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Sabemos pelo enunciado que:

• $\pi \cong 3$
• $r = 3\ \text{cm}$ (raio da base)
• $h = 12\ \text{cm}$ (altura atingida pelo líquido)

Substituindo os valores na fórmula, temos: $V_{\text{garrafa}} = 3 \cdot (3)^2 \cdot 12$ $V_{\text{garrafa}} = 3 \cdot 9 \cdot 12$ $V_{\text{garrafa}} = 27 \cdot 12$ $V_{\text{garrafa}} = 324\ \text{cm}^3$

Portanto, cada garrafa defeituosa recebeu $324\ \text{cm}^3$ de refrigerante.

Cálculo do Número de Garrafas

Para descobrir quantas garrafas foram utilizadas no total, basta dividirmos o volume total de líquido produzido pelo volume depositado em cada garrafa: $N = \frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{garrafa}}}$ $N = \frac{1\ 800\ 000}{324}$

Para facilitar a conta, podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por $9$: $N = \frac{200\ 000}{36}$

Dividindo agora por $4$: $N = \frac{50\ 000}{9}$

Realizando a divisão de $50\ 000$ por $9$, obtemos uma dízima periódica: $N = 5\ 555,555...$

Como a questão pede o valor aproximado, concluímos que foram utilizadas cerca de $5\ 555$ garrafas no período em que a máquina apresentou defeito.