Questão 179 do ENEM 2011 — Matemática

O comando pede o gráfico que representa, para os dois planos, o valor pago em função dos minutos usados. Vamos deduzir o comportamento de cada plano e depois checar qual figura corresponde.

Plano K

Custa R$ 29,90 fixos por até $200$ minutos. No gráfico, isso é uma reta horizontal em $y = 29,90$ para $0 \le x \le 200$. A partir de $200$ minutos, cobra R$ 0,20 por minuto excedente — daí em diante a curva vira uma reta crescente.

Plano Z

Custa R$ 49,90 fixos por até $300$ minutos. Logo, é uma reta horizontal em $y = 49,90$ para $0 \le x \le 300$. Acima de $300$ minutos, cobra R$ 0,10 por minuto excedente, gerando uma reta crescente com inclinação menor que a do plano K (pois $0,10 < 0,20$).

Ponto de encontro

Qual o valor do plano K exatamente aos $300$ minutos? Como $300$ ultrapassa a franquia de $200$ em $100$ minutos: $K(300) = 29,90 + 100 \cdot 0,20 = 29,90 + 20,00 = 49,90$

Ou seja, aos $300$ minutos o plano K vale R$ 49,90, exatamente o valor fixo do plano Z. Portanto os dois gráficos se cruzam no ponto $(300;\ 49,90)$.

Depois de 300 minutos

Acima de $300$ minutos ambos crescem, mas o custo por minuto do plano K (R$ 0,20) é o dobro do plano Z (R$ 0,10). Assim, a reta de K fica mais inclinada e passa a ficar acima da reta de Z.

O gráfico correto deve, então, apresentar:

• plano K horizontal em $29,90$ até $200$ min, depois crescente;
• plano Z horizontal em $49,90$ até $300$ min, depois crescente;
• cruzamento em $(300;\ 49,90)$;
• após o cruzamento, reta de K mais inclinada e acima da de Z.

Entre as alternativas, a figura que reúne todas essas características — K constante até $200$ e Z constante até $300$, encontro em $(300;\ 49,90)$ e K mais inclinado depois — é a da alternativa D. As demais falham em algum desses pontos (patamar de franquia errado, ausência do cruzamento correto ou inclinações trocadas).