Questão 137 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o modelo de caixa que atenda a duas condições: primeiro, deve ser grande o suficiente para acomodar a esfera sem deformá-la; segundo, dentre as opções que servem, deve possuir a menor área de superfície total.

Dimensões mínimas da caixa

O objeto a ser embalado é esférico e possui um raio de $R = 11\text{ cm}$. Para que uma esfera caiba dentro de uma caixa no formato de paralelepípedo retoretângulo, todas as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) devem ser maiores ou iguais ao diâmetro da esfera.

Calculando o diâmetro ($D$): $D = 2 \times R = 2 \times 11\text{ cm} = 22\text{ cm}$

Portanto, precisamos que o comprimento, a largura e a altura da caixa sejam todos maiores ou iguais a $22\text{ cm}$. Vamos analisar os modelos disponíveis:

• Modelo 1: $12\text{ cm} \times 12\text{ cm} \times 13\text{ cm}$ (Não serve, pois todas as dimensões são menores que $22\text{ cm}$)
• Modelo 2: $23\text{ cm} \times 20\text{ cm} \times 25\text{ cm}$ (Não serve, pois a largura é $20\text{ cm}$, que é menor que $22\text{ cm}$)
• Modelo 3: $25\text{ cm} \times 25\text{ cm} \times 25\text{ cm}$ (Serve, todas as dimensões são $\ge 22\text{ cm}$)
• Modelo 4: $26\text{ cm} \times 25\text{ cm} \times 24\text{ cm}$ (Serve, todas as dimensões são $\ge 22\text{ cm}$)
• Modelo 5: $23\text{ cm} \times 26\text{ cm} \times 26\text{ cm}$ (Serve, todas as dimensões são $\ge 22\text{ cm}$)

Cálculo da área de superfície total

Agora que sabemos que apenas os modelos 3, 4 e 5 comportam a encomenda, precisamos calcular a área de superfície total de cada um deles para descobrir qual é a menor. A área total ($A$) de um paralelepípedo de dimensões $a$, $b$ e $c$ é dada pela soma das áreas de todas as suas seis faces: $A = 2(ab + ac + bc)$

Vamos calcular para cada modelo válido:

Modelo 3: ($a = 25$, $b = 25$, $c = 25$) $A_3 = 2(25 \times 25 + 25 \times 25 + 25 \times 25)$ $A_3 = 2(625 + 625 + 625)$ $A_3 = 2(1875) = 3750\text{ cm}^2$

Modelo 4: ($a = 26$, $b = 25$, $c = 24$) $A_4 = 2(26 \times 25 + 26 \times 24 + 25 \times 24)$ $A_4 = 2(650 + 624 + 600)$ $A_4 = 2(1874) = 3748\text{ cm}^2$

Modelo 5: ($a = 23$, $b = 26$, $c = 26$) $A_5 = 2(23 \times 26 + 23 \times 26 + 26 \times 26)$ $A_5 = 2(598 + 598 + 676)$ $A_5 = 2(1872) = 3744\text{ cm}^2$

Conclusão

Comparando as áreas calculadas, temos:

• Modelo 3: $3750\text{ cm}^2$
• Modelo 4: $3748\text{ cm}^2$
• Modelo 5: $3744\text{ cm}^2$

O Modelo 5 é o que possui a menor área de superfície total entre os que comportam a esfera. Logo, ele deverá ser o escolhido pela empresa.