Questão 140 do ENEM 2023 — Matemática

Precisamos comparar três medidas de tendência central — moda, mediana e média — da variável "quantidade de viagens realizadas" por motorista. No gráfico de barras, o eixo horizontal traz a quantidade de motoristas (a frequência) e o eixo vertical, a quantidade de viagens (o valor da variável). Cada barra, portanto, indica quantos motoristas realizaram determinado número de viagens.

Lendo o comprimento de cada barra no gráfico, obtemos a distribuição:

• $1$ viagem: $10$ motoristas
• $2$ viagens: $10$ motoristas
• $3$ viagens: $55$ motoristas
• $4$ viagens: $25$ motoristas
• $6$ viagens: $50$ motoristas
• $7$ viagens: $10$ motoristas

(Não há barra correspondente a $5$ viagens.) A soma das frequências é $10 + 10 + 55 + 25 + 50 + 10 = 160$ motoristas, exatamente o total informado no enunciado.

Moda

A moda é o valor da variável que ocorre com maior frequência. A barra mais comprida do gráfico corresponde a $55$ motoristas, e esses motoristas realizaram $3$ viagens. Logo:

$\text{Moda} = 3$

Mediana

A mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Como há $160$ motoristas (número par), a mediana é a média dos valores nas posições $\frac{160}{2} = 80$ e $\frac{160}{2} + 1 = 81$.

Acumulando as frequências da menor para a maior quantidade de viagens:

• Até $1$ viagem: $10$ (posições $1$ a $10$)
• Até $2$ viagens: $10 + 10 = 20$ (posições $11$ a $20$)
• Até $3$ viagens: $20 + 55 = 75$ (posições $21$ a $75$)
• Até $4$ viagens: $75 + 25 = 100$ (posições $76$ a $100$)

As posições $80$ e $81$ caem no intervalo de $76$ a $100$, ou seja, ambas correspondem a motoristas que fizeram $4$ viagens. Assim:

$\text{Mediana} = \frac{4 + 4}{2} = 4$

Média

A média ponderada multiplica cada quantidade de viagens pela sua frequência e divide pelo total de motoristas:

$\text{Média} = \frac{(1 \cdot 10) + (2 \cdot 10) + (3 \cdot 55) + (4 \cdot 25) + (6 \cdot 50) + (7 \cdot 10)}{160}$

Calculando o numerador:

$\text{Média} = \frac{10 + 20 + 165 + 100 + 300 + 70}{160} = \frac{665}{160} \approx 4,15$

Conclusão

Organizando os três valores:

• $\text{Moda} = 3$
• $\text{Mediana} = 4$
• $\text{Média} \approx 4,15$

Como $3 < 4 < 4,15$, temos:

$\text{Moda} < \text{Mediana} < \text{Média}$

A alternativa correta é a E.