Questão 144 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos analisar a relação entre diferentes grandezas: o número de funcionários, os dias de trabalho, as horas trabalhadas por dia e a fração da obra concluída. Essa é uma situação clássica de regra de três composta.

Primeiro, vamos organizar as informações dadas no enunciado em duas situações (antes e depois da mudança):

Situação 1 (O que já aconteceu):

• Funcionários ($F_1$): $4$
• Dias trabalhados ($D_1$): $10$
• Horas por dia ($H_1$): $8$
• Obra concluída ($O_1$): $\frac{2}{5}$

Situação 2 (O que falta acontecer):

• Funcionários ($F_2$): $x$ (total necessário para terminar no prazo)
• Dias restantes ($D_2$): $14 - 10 = 4$ dias
• Horas por dia ($H_2$): $10$
• Obra restante ($O_2$): $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Agora, vamos analisar como o número de funcionários ($F$) se relaciona com as outras grandezas:

• Dias ($D$): Inversamente proporcional. Se temos menos dias para trabalhar, precisamos de mais funcionários.
• Horas por dia ($H$): Inversamente proporcional. Se trabalharmos mais horas por dia, precisaremos de menos funcionários.
• Obra ($O$): Diretamente proporcional. Se há mais obra para fazer, precisamos de mais funcionários.

Montando a equação da regra de três composta, mantemos a razão da grandeza que queremos descobrir e multiplicamos as outras, invertendo as frações daquelas que são inversamente proporcionais:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{D_2}{D_1} \cdot \frac{H_2}{H_1} \cdot \frac{O_1}{O_2}$

Substituindo os valores:

$\frac{4}{x} = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}$

Podemos simplificar a fração da obra cortando os denominadores $5$:

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$

Agora, substituímos de volta e resolvemos as multiplicações:

$\frac{4}{x} = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Note que o $10$ do numerador cancela com o $10$ do denominador:

$\frac{4}{x} = \frac{4}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Simplificando $\frac{4}{8}$ para $\frac{1}{2}$:

$\frac{4}{x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

O $2$ do numerador cancela com o $2$ do denominador:

$\frac{4}{x} = \frac{1}{3}$

Multiplicando cruzado, encontramos o valor de $x$:

$x = 4 \cdot 3 = 12$

Isso significa que serão necessários $12$ funcionários no total para concluir o restante da instalação no prazo estipulado.

Como a empresa já possui $4$ funcionários trabalhando, o número de funcionários a mais que o gerente precisará contratar é:

$12 - 4 = 8 \text{ funcionários}$

Portanto, o gerente deverá contratar $8$ funcionários adicionais.