Questão 137 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro identificar o padrão de crescimento dos lucros da empresa e, em seguida, calcular a soma de todos os lucros do período de $2005$ a $2014$.

Identificando o padrão

Vamos observar a sequência dos lucros anuais (em milhares de reais) fornecidos na tabela: $3, 5, 9, 17, 33, \dots$

Uma boa estratégia para encontrar padrões em sequências é analisar a diferença entre termos consecutivos:

• $5 - 3 = 2$
• $9 - 5 = 4$
• $17 - 9 = 8$
• $33 - 17 = 16$

Note que as diferenças formam uma progressão geométrica (PG) de razão $2$: $(2, 4, 8, 16, \dots)$. Podemos reescrever cada termo da sequência original separando essas potências de $2$:

• Ano 1 ($2005$): $3 = 2^1 + 1$
• Ano 2 ($2006$): $5 = 2^2 + 1$
• Ano 3 ($2007$): $9 = 2^3 + 1$
• Ano 4 ($2008$): $17 = 2^4 + 1$
• Ano 5 ($2009$): $33 = 2^5 + 1$

Fica claro que o lucro no ano $n$ (onde $n = 1$ representa $2005$, $n = 2$ representa $2006$, e assim por diante) é dado pela expressão: $L_n = 2^n + 1$

Calculando o lucro total

O comando da questão pede o lucro total de $2005$ a $2014$. Como $2005$ é o ano $1$, o ano de $2014$ será o ano $10$ (pois $2014 - 2005 + 1 = 10$). Portanto, precisamos somar os $10$ primeiros termos dessa sequência: $S_{10} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots + L_{10}$

Substituindo a expressão que encontramos para $L_n$: $S_{10} = (2^1 + 1) + (2^2 + 1) + (2^3 + 1) + \dots + (2^{10} + 1)$

Podemos reorganizar essa soma agrupando as potências de $2$ e os números $1$: $S_{10} = (2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10}) + (1 + 1 + 1 + \dots + 1)$

A primeira parte da equação é a soma dos $10$ primeiros termos de uma Progressão Geométrica (PG) onde o primeiro termo é $a_1 = 2$ e a razão é $q = 2$. A fórmula da soma de uma PG finita é: $S_{PG} = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$

Substituindo os valores: $S_{PG} = \frac{2 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1}$ $S_{PG} = \frac{2 \cdot (1024 - 1)}{1}$ $S_{PG} = 2 \cdot 1023 = 2046$

A segunda parte da equação é simplesmente o número $1$ somado $10$ vezes, o que resulta em $10$.

Somando as duas partes, obtemos o lucro total: $S_{10} = 2046 + 10 = 2056$

Portanto, o lucro total da empresa de $2005$ a $2014$ foi de $2056$ milhares de reais.