Questão 174 do ENEM 2019 — Matemática

ENEM 2019MatemáticaPPL

Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

Gráfico em um sistema de coordenadas cartesianas mostrando a posição da Câmera 1 no ponto (3, 1) e da Câmera 2 no ponto (2, 4). O eixo x representa o comprimento da sala em metros e o eixo y representa a largura da sala em metros.

(ii) cinco relações entre as coordenadas $(x ; y)$ da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.

R1: $y = x$

R2: $y = -3x + 5$

R3: $y = -3x + 10$

R4: $y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$

R5: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{10}$

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.

A relação escolhida pelo instalador foi a
A
R1.
B
R2.
C
R3.
R4.
Resposta correta
E
R5.
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

O problema pede a reta em que a terceira câmera pode ser instalada de modo a ficar equidistante das duas câmeras já existentes. Antes de tudo, lemos as posições das câmeras no plano cartesiano da figura.

Pelo gráfico:

  • Câmera 1: está em x=3x = 3 e y=1y = 1, ou seja, C1(3,1)C_1(3, 1).
  • Câmera 2: está em x=2x = 2 e y=4y = 4, ou seja, C2(2,4)C_2(2, 4).

A terceira câmera ficará num ponto de coordenadas (x,y)(x, y) que deve estar à mesma distância de C1C_1 e de C2C_2. Em geometria analítica, o conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une — e é justamente essa reta que estamos procurando. Para encontrá-la, basta impor que as duas distâncias sejam iguais: d(C3,C1)=d(C3,C2)d(C_3, C_1) = d(C_3, C_2)

Lembrando que a distância entre (xa,ya)(x_a, y_a) e (xb,yb)(x_b, y_b) é (xa−xb)2+(ya−yb)2\sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}, escrevemos: (x−3)2+(y−1)2=(x−2)2+(y−4)2\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 4)^2}

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar as raízes: (x−3)2+(y−1)2=(x−2)2+(y−4)2(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y - 4)^2

Desenvolvendo cada quadrado da diferença, (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: (x2−6x+9)+(y2−2y+1)=(x2−4x+4)+(y2−8y+16)(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16)

Agrupando os termos constantes de cada lado: x2+y2−6x−2y+10=x2+y2−4x−8y+20x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 = x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20

Como x2x^2 e y2y^2 aparecem dos dois lados, eles se cancelam: −6x−2y+10=−4x−8y+20-6x - 2y + 10 = -4x - 8y + 20

Agora isolamos yy, pois as alternativas estão na forma reduzida da reta. Passando os termos em yy para a esquerda e os demais para a direita: −2y+8y=−4x+6x+20−10-2y + 8y = -4x + 6x + 20 - 10 6y=2x+106y = 2x + 10

Dividindo tudo por 66: y=26x+106=13x+53y = \frac{2}{6}x + \frac{10}{6} = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}

Essa é exatamente a relação R4. Assim, o instalador escolheu a relação R4, alternativa D.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2019 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.