Questão 153 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, vamos primeiro organizar as informações do cone de chocolate original. O enunciado nos diz que o diâmetro da base é de $8 \text{ cm}$. Como o raio é a metade do diâmetro, o raio original ($R_1$) é de $4 \text{ cm}$. A altura ($h$) é de $10 \text{ cm}$.

A fórmula do volume de um cone circular reto é dada por: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

A empresa decidiu produzir um novo cone com um volume $19\%$ menor, mas mantendo a mesma altura de $10 \text{ cm}$. Se o volume foi reduzido em $19\%$, isso significa que o novo volume ($V_2$) corresponderá a $100\% - 19\% = 81\%$ do volume original ($V_1$). Em formato decimal, podemos escrever essa relação como: $V_2 = 0,81 \cdot V_1$

Agora, vamos substituir $V_1$ e $V_2$ pelas suas respectivas fórmulas. Lembrando que a altura $h$ é a mesma para ambos os cones, temos: $\frac{1}{3} \pi R_2^2 h = 0,81 \cdot \left( \frac{1}{3} \pi R_1^2 h \right)$

Observe que temos os termos $\frac{1}{3}$, $\pi$ e $h$ multiplicando os dois lados da equação. Podemos simplificar a expressão dividindo ambos os lados por esses valores em comum, o que nos poupa de fazer cálculos desnecessários: $R_2^2 = 0,81 \cdot R_1^2$

Para encontrar o valor do novo raio ($R_2$), basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação: $R_2 = \sqrt{0,81 \cdot R_1^2}$ $R_2 = 0,9 \cdot R_1$

Isso nos mostra que, como a altura se manteve constante, a relação entre os volumes se reflete no quadrado dos raios. O novo raio será $90\%$ do raio original.

Por fim, substituímos o valor do raio original ($R_1 = 4 \text{ cm}$) na equação que encontramos: $R_2 = 0,9 \cdot 4$ $R_2 = 3,60 \text{ cm}$

Portanto, a medida do novo raio da base deverá ser igual a $3,60 \text{ cm}$.