Questão 171 do ENEM 2024 — Matemática

Entendendo o problema

A questão pede para encontrarmos a altura aproximada de uma nova embalagem que substituirá a atual. Para isso, precisamos primeiro descobrir qual é o volume da embalagem atual, adicionar o aumento de capacidade exigido e, por fim, usar esse novo volume para calcular a altura da nova embalagem.

Lembre-se de que a capacidade de $1 \text{ mL}$ equivale a um volume de $1 \text{ cm}^3$. Portanto, um aumento de $400 \text{ mL}$ significa um aumento de $400 \text{ cm}^3$ no volume.

Volume da embalagem atual

A embalagem atual tem o formato de um cilindro reto. O volume de um cilindro é calculado multiplicando a área da sua base pela sua altura:

$V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$

O enunciado nos diz que o diâmetro da base é $16 \text{ cm}$, o que significa que o raio $r$ é a metade disso, ou seja, $r = 8 \text{ cm}$. A altura $h$ é $20 \text{ cm}$ e devemos usar $\pi \approx 3$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

$V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 8^2 \cdot 20$ $V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 64 \cdot 20$ $V_{\text{cilindro}} = 192 \cdot 20$ $V_{\text{cilindro}} = 3840 \text{ cm}^3$

Volume da nova embalagem

A direção da empresa pediu que a nova embalagem tenha uma capacidade de, pelo menos, $400 \text{ mL}$ (ou $400 \text{ cm}^3$) a mais que a atual. Assim, o volume mínimo da nova embalagem será:

$V_{\text{novo}} = 3840 + 400 = 4240 \text{ cm}^3$

Calculando a altura da nova embalagem

A nova embalagem terá o formato de um paralelepípedo reto retângulo com base quadrada. O volume de um paralelepípedo também é calculado multiplicando a área da base pela altura ($H$).

Como a base é um quadrado com lado medindo $16 \text{ cm}$, a área da base é:

$A_{\text{base}} = 16 \cdot 16 = 256 \text{ cm}^2$

Agora, igualamos o volume do paralelepípedo ao volume mínimo que calculamos para encontrar a altura $H$:

$V_{\text{novo}} = A_{\text{base}} \cdot H$ $4240 = 256 \cdot H$ $H = \frac{4240}{256}$

Realizando a divisão:

$H = 16,5625 \text{ cm}$

Como o enunciado pede o valor aproximado da medida da altura, o valor mais próximo entre as alternativas fornecidas é $17 \text{ cm}$.