Questão 177 do ENEM 2024 — Matemática

Entendendo o Modelo de Custo

O enunciado nos diz que o custo total de produção é formado por uma parte fixa e uma parte variável proporcional à quantidade produzida. Essa é a definição clássica de uma função afim (função polinomial do 1º grau), que pode ser modelada por:

$C(x) = ax + b$

Onde:

• $C(x)$ é o custo total;
• $x$ é a quantidade de mochilas produzidas;
• $a$ é o custo variável por unidade (quanto custa fabricar cada mochila);
• $b$ é o custo fixo (o valor pago independentemente da produção).

Nosso objetivo é descobrir os valores de $a$ e $b$ para, em seguida, calcular o custo de $80$ mochilas.

Calculando o Custo Variável ($a$)

Para descobrir o custo de cada mochila, analisamos a variação entre dois cenários da tabela. Vamos usar os dois primeiros:

• Para $30$ mochilas, o custo é R$ 1.050,00.
• Para $50$ mochilas, o custo é R$ 1.650,00.

A produção aumentou em $20$ mochilas ($50 - 30 = 20$). Como consequência, o custo aumentou em R$ 600,00 ($1.650 - 1.050 = 600$).

Como o custo fixo não muda, esse aumento de R$ 600,00 deve-se exclusivamente às $20$ mochilas extras. Portanto, o custo variável por mochila é a razão entre essas variações:

$a = \frac{\Delta C}{\Delta x} = \frac{600}{20} = 30$

Cada mochila custa R$ 30,00 para ser fabricada.

Calculando o Custo Fixo ($b$)

Agora que sabemos que $a = 30$, a função está quase completa: $C(x) = 30x + b$. Para encontrar o custo fixo ($b$), basta substituir os dados de qualquer cenário da tabela. Usando o primeiro ($x = 30$ e $C = 1.050$):

$1.050 = 30 \cdot 30 + b$ $1.050 = 900 + b$ $b = 1.050 - 900$ $b = 150$

O custo fixo da empresa é de R$ 150,00.

Encontrando o Custo para 80 Mochilas

Com a função de custo totalmente definida como $C(x) = 30x + 150$, podemos responder à pergunta. Queremos $C(80)$:

$C(80) = 30 \cdot 80 + 150$ $C(80) = 2.400 + 150$ $C(80) = 2.550$

O custo total para a produção de $80$ mochilas será de R$ 2.550,00.

Atenção: um erro comum seria tentar usar Regra de Três Simples. Isso não funciona aqui justamente por causa da existência do custo fixo ($b \neq 0$). A proporção só seria direta se o custo começasse do zero.