Questão 152 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir qual é o tempo máximo de garantia que a empresa pode oferecer sem que o número de trocas ultrapasse o limite estabelecido de $3\%$ do total de equipamentos.

1. Calculando o limite de trocas

A empresa testou um total de $400$ equipamentos e não deseja trocar mais do que $3\%$ deles. Vamos calcular a quanto isso equivale em quantidade de equipamentos:

$\text{Limite de trocas} = 3\% \text{ de } 400$ $\text{Limite de trocas} = \frac{3}{100} \times 400 = 3 \times 4 = 12 \text{ equipamentos}$

Isso significa que a empresa está disposta a trocar, no máximo, $12$ equipamentos.

2. Analisando os defeitos ao longo do tempo

Agora, vamos observar a tabela fornecida e acumular a quantidade de equipamentos que apresentam defeito mês a mês, para saber quantos seriam trocados dependendo do tempo de garantia escolhido:

• Até $1$ mês: $5$ equipamentos dão defeito.
• Até $3$ meses: os $5$ do primeiro mês mais os $7$ que dão defeito no terceiro mês. Total: $5 + 7 = 12$ equipamentos.
• Até $5$ meses: os $12$ anteriores mais os $38$ que dão defeito no quinto mês. Total: $12 + 38 = 50$ equipamentos.

3. Conclusão

Se a empresa der $1$ mês de garantia, trocará apenas $5$ equipamentos (abaixo do limite de $12$). Se a empresa der $3$ meses de garantia, trocará exatamente $12$ equipamentos (atinge o limite exato de $3\%$). Se a empresa der $5$ meses de garantia, trocará $50$ equipamentos (ultrapassa muito o limite de $12$).

Como a empresa quer oferecer o maior tempo de garantia possível sem ultrapassar a marca de $12$ trocas, o tempo de garantia estabelecido deve ser de $3$ meses.