Questão 162 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos primeiro entender qual foi o custo total de produção no mês atual. A partir daí, poderemos calcular a meta de custo para o mês seguinte e, por fim, descobrir a quantidade de plástico reciclado necessária para atingir essa meta.

Custos de Produção

O enunciado nos diz que o custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00. Esse valor corresponde a $5\%$ do custo para produzir uma tonelada a partir de derivados de petróleo.

Podemos descobrir o custo do plástico de petróleo ($C_p$) montando uma equação simples: $0,05 \cdot C_p = 500$ $C_p = \frac{500}{0,05} = 10.000$

Portanto, produzir uma tonelada de plástico a partir do petróleo custa R$ 10.000,00.

Custo Total no Mês Atual

Sabendo os custos por tonelada, vamos calcular o gasto total da empresa no mês atual:

• Plástico de petróleo: $110$ toneladas \times R\ 10.000,00 = R$ 1.100.000,00$
• Plástico reciclado: $80$ toneladas \times R\ 500,00 = R$ 40.000,00$

Somando esses valores, o custo total foi de: $1.100.000 + 40.000 = 1.140.000$

O custo total no mês atual foi de R$ 1.140.000,00.

Meta para o Próximo Mês

A empresa deseja manter a mesma quantidade total de plástico produzida. No mês atual, a produção total foi de $110 + 80 = 190$ toneladas.

Além disso, a meta é reduzir o custo de produção em pelo menos $50\%$. Isso significa que o novo custo máximo deve ser a metade do custo atual: $\text{Custo Máximo} = \frac{1.140.000}{2} = 570.000$

O custo no próximo mês não pode ultrapassar R$ 570.000,00.

Calculando a Nova Produção

Vamos chamar de $x$ a quantidade de toneladas de plástico reciclado que será produzida no próximo mês. Como a produção total deve continuar sendo de $190$ toneladas, a quantidade de plástico de petróleo será de $(190 - x)$ toneladas.

O novo custo total será a soma dos custos dessas duas produções, e ele deve ser menor ou igual a R$ 570.000,00: $500x + 10.000(190 - x) \leq 570.000$

Agora, basta resolvermos essa inequação: $500x + 1.900.000 - 10.000x \leq 570.000$ $-9.500x + 1.900.000 \leq 570.000$ $-9.500x \leq 570.000 - 1.900.000$ $-9.500x \leq -1.330.000$

Multiplicando ambos os lados por $-1$ (lembrando de inverter o sinal da desigualdade): $9.500x \geq 1.330.000$ $x \geq \frac{1.330.000}{9.500}$ $x \geq 140$

Portanto, para que a meta de redução de custos seja atingida, a empresa deverá produzir, no mínimo, $140$ toneladas de plástico a partir de reciclagem.