Questão 159 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular o volume de chocolate utilizado para fazer a bola e, em seguida, converter esse volume em massa (gramas), utilizando a relação fornecida no enunciado.

1. Encontrando os raios da esfera

A bola de chocolate é oca, o que significa que ela é formada por uma casca esférica. O volume dessa casca é a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna (a parte oca).

O enunciado nos diz que o diâmetro externo da bola é de $20 \text{ cm}$. Como o raio é a metade do diâmetro, o raio externo ($R$) é: $R = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$

A espessura do chocolate é de $1 \text{ cm}$. Para encontrar o raio interno ($r$), basta subtrair a espessura do raio externo: $r = 10 - 1 = 9 \text{ cm}$

2. Calculando o volume de chocolate

A fórmula do volume de uma esfera é dada por $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. O volume de chocolate ($V_c$) será o volume da esfera maior menos o volume da esfera menor: $V_c = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3$

Podemos colocar $\frac{4}{3}\pi$ em evidência para facilitar as contas: $V_c = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$

Substituindo os valores de $R$ e $r$: $V_c = \frac{4}{3}\pi (10^3 - 9^3)$ $V_c = \frac{4}{3}\pi (1000 - 729)$ $V_c = \frac{4}{3}\pi (271)$ $V_c = \frac{1\ 084\pi}{3} \text{ cm}^3$

3. Convertendo o volume em massa

O problema informa que $1 \text{ g}$ de chocolate equivale a $0,75 \text{ cm}^3$. Para facilitar os cálculos com frações, podemos escrever $0,75$ como $\frac{3}{4}$.

Para descobrir a quantidade de chocolate em gramas ($m$), basta dividir o volume total de chocolate pelo volume correspondente a $1 \text{ g}$: $m = \frac{V_c}{0,75} = \frac{V_c}{\frac{3}{4}}$

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso: $m = V_c \cdot \frac{4}{3}$

Substituindo o valor do volume que encontramos: $m = \left(\frac{1\ 084\pi}{3}\right) \cdot \frac{4}{3}$ $m = \frac{4\ 336\pi}{9} \text{ g}$

Portanto, a quantidade de chocolate utilizada é $\frac{4\ 336\pi}{9}$ gramas.