Questão 178 do ENEM 2015 — Matemática

Entendendo o problema

A chave está no que a empresa pede: o logotipo deve ficar nas faces opostas pintadas de cinza. Ou seja, no cubo montado, as duas faces cinzas precisam estar em lados opostos (paralelos), sem se tocar — como o topo e a base, por exemplo.

O desenho do cubo mostra duas faces cinzas (a da frente e a lateral esquerda). Elas aparecem vizinhas apenas por causa da perspectiva do desenho em 3D; o que vale como exigência é o texto: as faces cinzas devem ser opostas no cubo final. Se elas pudessem ser adjacentes, mais de uma planificação poderia servir, e uma questão de múltipla escolha só admite uma resposta correta — o que reforça que o critério é serem opostas.

Como uma planificação em cruz se dobra

Para decidir quais faces caem opostas, vale lembrar a montagem de uma planificação em formato de cruz. Chamemos a fileira horizontal de quadrados de $1$, $2$, $3$ e $4$, com um quadrado $T$ (topo) acima do $2$ e um quadrado $B$ (base) abaixo do $2$.

Dobrando o cubo com o quadrado $2$ como face da frente:

• $T$ vira o topo e $B$ vira a base $\Rightarrow$ $T$ e $B$ são opostas.
• $1$ vira a esquerda e $3$ vira a direita $\Rightarrow$ $1$ e $3$ são opostas.
• $4$ dá a volta e vira o fundo $\Rightarrow$ $2$ (frente) e $4$ (fundo) são opostas.

Qualquer par de quadrados que compartilhe uma aresta na planificação (por exemplo, o quadrado central e o de cima) resulta em faces adjacentes no cubo, nunca opostas.

Regra prática

O critério é simples: as duas faces cinzas serão opostas no cubo somente quando estiverem em posições que não se tocam na planificação — tipicamente o quadrado de cima ($T$) e o de baixo ($B$) do braço vertical da cruz, ou dois quadrados da fileira horizontal separados por outro quadrado. Se as duas faces cinzas encostam (dividem uma aresta) na planificação, elas ficarão adjacentes no cubo e não atendem ao pedido.

Aplicando às planificações

Analisando cada opção com esse critério:

• I: as duas faces cinzas dividem uma aresta (o quadrado central e o logo abaixo dele) $\Rightarrow$ ficam adjacentes.
• II: as faces cinzas estão nas extremidades da fileira horizontal, mas ao fechar o cubo uma delas dá a volta e se encontra com a outra numa aresta $\Rightarrow$ adjacentes.
• III: uma face cinza está acima do centro (topo) e a outra abaixo do centro (base) $\Rightarrow$ topo e base são opostas. ✓
• IV: uma face cinza está na fileira horizontal e a outra abaixo do centro; ao dobrar, elas se encontram numa aresta $\Rightarrow$ adjacentes.
• V: uma face cinza está no topo e a outra na ponta da fileira horizontal; ao dobrar, ficam vizinhas $\Rightarrow$ adjacentes.

Conclusão

A única planificação em que as duas faces cinzas caem em posições opostas (topo e base) é a III. Por isso, a opção que atende ao desejo da empresa é a C.