Questão 157 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir as dimensões da caixa de madeira e, em seguida, verificar como as esferas se acomodam dentro dela.

Primeiro, sabemos que a caixa tem o formato de um cubo e sua capacidade (volume) é de $13.824 \text{ cm}^3$. O volume $V$ de um cubo é dado pela medida de sua aresta $a$ elevada ao cubo:

$V = a^3$

Substituindo o valor do volume, temos:

$a^3 = 13.824$

Para encontrar o valor de $a$, precisamos calcular a raiz cúbica de $13.824$. Sabendo que $20^3 = 8.000$ e $30^3 = 27.000$, a aresta deve ser um valor entre $20$ e $30$. Como o número termina em $4$, o único algarismo que elevado ao cubo termina em $4$ é o próprio $4$ (pois $4^3 = 64$). Testando o $24$, temos:

$24 \times 24 \times 24 = 576 \times 24 = 13.824$

Logo, a aresta da caixa cúbica mede $a = 24 \text{ cm}$.

Agora, vamos analisar as esferas. O enunciado nos diz que cada esfera tem um raio $r = 6 \text{ cm}$. Para sabermos o espaço linear que uma esfera ocupa (sua "largura"), precisamos do seu diâmetro $d$, que é o dobro do raio:

$d = 2 \times r = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}$

Como a caixa tem $24 \text{ cm}$ de aresta e cada esfera tem $12 \text{ cm}$ de diâmetro, podemos calcular quantas esferas cabem enfileiradas em cada dimensão da caixa (comprimento, largura e altura):

$\text{Esferas por dimensão} = \frac{24 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = 2 \text{ esferas}$

Isso significa que podemos colocar $2$ esferas no comprimento, $2$ na largura e $2$ na altura. Para encontrar o número total máximo de esferas que cabem na caixa, basta multiplicar a quantidade de esferas em cada uma das três dimensões:

$\text{Total de esferas} = 2 \times 2 \times 2 = 8 \text{ esferas}$

Portanto, o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é $8$.