Questão 161 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um evento duplo ocorrer: sortear um funcionário com $34$ anos de serviço e, em seguida, sortear outro funcionário que também tenha $34$ anos de serviço.

Primeiro, vamos organizar as informações que o enunciado e a tabela nos fornecem:

• O total de empregados que participam do sorteio é $20$.
• Observando a tabela, vemos que o número de empregados com exatamente $34$ anos de serviço é $5$.

Como a empresa vai sortear dois empregados diferentes, estamos lidando com um sorteio sem reposição. Isso significa que, após sortear a primeira pessoa, ela não volta para o grupo para o segundo sorteio.

Podemos calcular a probabilidade total multiplicando as probabilidades de cada etapa do sorteio:

1º Sorteio: A probabilidade de o primeiro sorteado ter $34$ anos de serviço é a razão entre o número de funcionários com esse tempo de serviço e o total de funcionários. $P_1 = \frac{5}{20}$

2º Sorteio: Supondo que o primeiro sorteado tinha $34$ anos de serviço, agora restam apenas $4$ funcionários com esse tempo de serviço no grupo, e o total de funcionários disponíveis para o segundo sorteio caiu para $19$. $P_2 = \frac{4}{19}$

Probabilidade de ambos os eventos ocorrerem: Multiplicamos as probabilidades individuais para encontrar a probabilidade de ambos os sorteados terem $34$ anos de serviço: $P = P_1 \times P_2 = \frac{5}{20} \times \frac{4}{19}$

Antes de multiplicar, podemos simplificar a fração $\frac{5}{20}$ dividindo o numerador e o denominador por $5$, o que nos dá $\frac{1}{4}$: $P = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19}$

Agora, podemos cancelar o $4$ do numerador com o $4$ do denominador: $P = \frac{1}{19}$

Outra forma de pensar (Combinações): Se preferir usar análise combinatória, a probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

• Casos possíveis: Escolher $2$ pessoas quaisquer entre as $20$. Isso é uma combinação de $20$ tomados $2$ a $2$: $C_{20,2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
• Casos favoráveis: Escolher $2$ pessoas entre as $5$ que têm $34$ anos de serviço. Isso é uma combinação de $5$ tomados $2$ a $2$: $C_{5,2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

A probabilidade será: $P = \frac{10}{190} = \frac{1}{19}$

Ambos os raciocínios nos levam ao mesmo resultado correto.