Questão 165 do ENEM 2017 — Matemática

Para descobrir a escala utilizada na confecção do mapa, precisamos lembrar do conceito de escala cartográfica. A escala ($E$) é definida como a razão entre a distância medida no mapa ($d$) e a distância real correspondente ($D$). Matematicamente, expressamos isso como:

$E = \frac{d}{D}$

A questão nos fornece as seguintes informações:

• Distância no mapa ($d$): $3,6 \text{ cm}$
• Distância real ($D$): $72 \text{ km}$

O ponto de atenção aqui é que, para calcularmos a razão corretamente, ambas as medidas precisam estar na mesma unidade de comprimento. O mais prático é converter a distância real de quilômetros ($\text{km}$) para centímetros ($\text{cm}$).

Sabemos que:

• $1 \text{ km} = 1.000 \text{ m}$
• $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$

Portanto, para transformar quilômetros em centímetros, multiplicamos por $100.000$ (ou seja, adicionamos cinco zeros):

$72 \text{ km} = 72 \times 100.000 \text{ cm} = 7.200.000 \text{ cm}$

Agora que temos ambas as medidas em centímetros, podemos substituir os valores na fórmula da escala:

$E = \frac{3,6}{7.200.000}$

Para facilitar a simplificação dessa fração e eliminar a vírgula do numerador, podemos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por $10$:

$E = \frac{36}{72.000.000}$

Agora, basta simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por $36$:

$E = \frac{36 \div 36}{72.000.000 \div 36} = \frac{1}{2.000.000}$

Isso significa que a escala do mapa é de $1 : 2.000.000$, ou seja, cada $1 \text{ cm}$ no mapa representa $2.000.000 \text{ cm}$ na realidade.

Analisando as alternativas, a resposta correta é a Alternativa E.