Questão 160 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos construir a expressão matemática passo a passo, acompanhando o crescimento do raio, a área do círculo e, por fim, a quantidade total de bactérias.

1. O crescimento do raio

O enunciado nos diz que o raio no primeiro dia ($d = 1$) é igual a $r$. A cada dia que passa, esse raio aumenta em $10\%$. Um aumento de $10\%$ equivale a multiplicar o valor por $1,1$ (ou seja, $100\% + 10\% = 110\% = 1,1$).

Como esse aumento ocorre sucessivamente a cada dia, temos uma progressão geométrica:

• No dia $1$: o raio é $r$
• No dia $2$: o raio é $r \cdot 1,1$
• No dia $3$: o raio é $r \cdot 1,1 \cdot 1,1 = r \cdot (1,1)^2$

Seguindo essa lógica, para um dia $d$ qualquer, o número de vezes que o raio aumentou é $(d - 1)$. Portanto, a expressão para o raio no dia $d$ é: $R(d) = r \cdot (1,1)^{d-1}$

2. A área ocupada pela cultura

A cultura de bactérias tem o formato de um círculo. A área de um círculo é dada pela fórmula $A = \pi \cdot R^2$. Substituindo o raio $R(d)$ que acabamos de encontrar, temos a área no dia $d$: $A = \pi \cdot (r \cdot (1,1)^{d-1})^2$

3. A quantidade de bactérias ($Q$)

Sabemos que a concentração da cultura é de $1\ 000$ bactérias por milímetro quadrado, o que pode ser escrito como $10^3$. Como essa concentração não muda, a quantidade total de bactérias ($Q$) será simplesmente a concentração multiplicada pela área total ocupada: $Q = 10^3 \cdot A$

Substituindo a expressão da área na equação acima, obtemos: $Q = 10^3 \cdot \pi \cdot (r \cdot (1,1)^{d-1})^2$

Reorganizando os termos para que fiquem idênticos a uma das alternativas, podemos escrever: $Q = 10^3 ((1,1)^{d-1} r)^2 \pi$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.