Questão 105 do ENEM 2024 — Ciências da Natureza

Quando o balão sobe, a quantidade de gás em seu interior não muda (ele fica fechado até estourar) e o gás se comporta idealmente. Isso nos autoriza a usar a Equação Geral dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura entre dois estados:

$\frac{P_0 \cdot V_0}{T_0} = \frac{P_f \cdot V_f}{T_f}$

O índice $0$ representa o estado inicial, ao nível do mar (altitude $0\text{ km}$), e o índice $f$ representa o estado final, na altitude desejada de $20\,000\text{ m}$ (ou seja, $20\text{ km}$).

Lendo os dados dos gráficos

Os valores de temperatura e pressão em cada altitude vêm dos gráficos que acompanham a questão (altitude no eixo vertical; temperatura e pressão nos eixos horizontais).

No nível do mar (altitude $0\text{ km}$):

• A curva de temperatura parte de $T_0 = 300\text{ K}$.
• A curva de pressão parte de $P_0 = 100\text{ kPa}$.

Na altitude de $20\text{ km}$:

• A curva de temperatura indica $T_f = 240\text{ K}$.
• A curva de pressão indica $P_f = 10\text{ kPa}$.

Descobrindo quantas vezes o volume aumenta

Como o comando fala em "quantas vezes", nosso primeiro passo é achar a razão $\frac{V_f}{V_0}$. Isolando essa razão na equação dos gases:

$\frac{V_f}{V_0} = \frac{P_0}{P_f} \cdot \frac{T_f}{T_0}$

Substituindo os valores lidos:

$\frac{V_f}{V_0} = \left( \frac{100}{10} \right) \cdot \left( \frac{240}{300} \right) = 10 \cdot 0,8 = 8$

Ou seja, na altitude de $20\text{ km}$ o volume do balão é $8$ vezes maior que ao nível do mar.

Do volume para o raio

Repare que o comando não pede o aumento do volume, e sim do raio. O balão tem formato esférico (a figura mostra a esfera com o raio $r$ indicado), então vale a fórmula do volume da esfera:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Como o volume é proporcional ao cubo do raio ($V \propto r^3$), a razão entre os volumes é igual à razão entre os cubos dos raios:

$\frac{V_f}{V_0} = \left( \frac{r_f}{r_0} \right)^3 = 8$

Para achar quantas vezes o raio aumenta, extraímos a raiz cúbica dos dois lados:

$\frac{r_f}{r_0} = \sqrt[3]{8} = 2$

Portanto, o raio do balão deve aumentar $2,00$ vezes. A resposta correta é a alternativa D.