Questão 162 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a campanha em duas etapas, já que as condições de trabalho mudam após os primeiros dias. Vamos dividir o problema na primeira fase (os $10$ dias iniciais) e na segunda fase (os $20$ dias finais).

Primeira fase da campanha

Nos primeiros $10$ dias, temos as seguintes informações:

• Número de alunos: $20$
• Jornada de trabalho: $3$ horas por dia
• Arrecadação diária: $12\text{ kg}$

Como a equipe arrecada $12\text{ kg}$ por dia, o total arrecadado nessa primeira fase é simplesmente o número de dias multiplicado pela arrecadação diária: $10 \text{ dias} \times 12\text{ kg/dia} = 120\text{ kg}$

Segunda fase da campanha

Para os dias seguintes, as condições mudam. Como a campanha dura $30$ dias no total e já se passaram $10$, restam $20$ dias. Além disso, $30$ novos alunos se juntam aos $20$ iniciais, totalizando $50$ alunos. A jornada de trabalho também aumenta para $4$ horas por dia.

Precisamos descobrir qual será a nova arrecadação diária. Como o enunciado afirma que o ritmo de coleta se mantém constante, podemos usar uma regra de três composta relacionando o número de alunos, as horas trabalhadas por dia e a arrecadação diária:

Vamos analisar a proporcionalidade em relação à grandeza que queremos descobrir (Arrecadação/dia):

• Alunos e Arrecadação: Grandezas diretamente proporcionais (mais alunos trabalhando arrecadam mais alimentos).
• Horas/dia e Arrecadação: Grandezas diretamente proporcionais (trabalhando mais horas por dia, arrecada-se mais).

Montando a equação, mantemos as frações como estão, já que todas as relações são diretas: $\frac{12}{x} = \frac{20}{50} \cdot \frac{3}{4}$

Simplificando a fração dos alunos (cortando os zeros, $\frac{20}{50} = \frac{2}{5}$): $\frac{12}{x} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{12}{x} = \frac{6}{20}$

Simplificando a fração $\frac{6}{20}$ por $2$, obtemos $\frac{3}{10}$: $\frac{12}{x} = \frac{3}{10}$

Multiplicando cruzado: $3x = 12 \cdot 10$ $3x = 120$ $x = \frac{120}{3}$ $x = 40\text{ kg/dia}$

Agora que sabemos que na segunda fase a equipe arrecada $40\text{ kg}$ por dia, podemos calcular o total arrecadado nesses $20$ dias restantes: $20 \text{ dias} \times 40\text{ kg/dia} = 800\text{ kg}$

Total arrecadado

Para encontrar a quantidade total de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado, basta somar os resultados das duas fases da campanha: $\text{Total} = 120\text{ kg} + 800\text{ kg} = 920\text{ kg}$

Portanto, a quantidade de alimentos arrecadados ao final da campanha seria de $920\text{ kg}$.