Questão 151 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, montando uma equação do primeiro grau. O objetivo é descobrir o tempo que o quarto e último atleta levou para completar o seu percurso.

Organizando os dados

Sabemos que a equipe é formada por $4$ atletas e que o tempo total da prova foi de $325$ segundos. Vamos chamar o tempo do primeiro corredor de $t_1$. A partir dele, podemos expressar o tempo dos demais corredores:

• Primeiro corredor: $t_1$
• Segundo corredor: correu $15$ segundos mais rápido que o primeiro, logo, seu tempo foi $t_2 = t_1 - 15$.
• Terceiro corredor: correu $5$ segundos mais rápido que o segundo. Então, seu tempo foi $t_3 = t_2 - 5$. Substituindo $t_2$, temos $t_3 = (t_1 - 15) - 5 = t_1 - 20$.
• Quarto corredor: realizou o percurso em $\frac{3}{4}$ do tempo do primeiro, ou seja, $t_4 = \frac{3}{4}t_1$.

Montando e resolvendo a equação

A soma dos tempos individuais de cada atleta deve ser igual ao tempo total da equipe. Assim, temos:

$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 325$

Substituindo as expressões que encontramos para cada corredor:

$t_1 + (t_1 - 15) + (t_1 - 20) + \frac{3}{4}t_1 = 325$

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes. Somando os $t_1$ inteiros e os números:

$3t_1 - 35 + \frac{3}{4}t_1 = 325$

Passando o $-35$ para o outro lado da igualdade:

$3t_1 + \frac{3}{4}t_1 = 325 + 35$ $3t_1 + \frac{3}{4}t_1 = 360$

Para somar $3t_1$ com $\frac{3}{4}t_1$, podemos transformar $3t_1$ em uma fração com denominador $4$:

$\frac{12t_1}{4} + \frac{3t_1}{4} = 360$ $\frac{15t_1}{4} = 360$

Multiplicando ambos os lados por $4$:

$15t_1 = 360 \cdot 4$ $15t_1 = 1440$

Dividindo por $15$:

$t_1 = \frac{1440}{15}$ $t_1 = 96 \text{ segundos}$

Encontrando o tempo do último atleta

O valor que encontramos ($96$ segundos) é o tempo do primeiro corredor. No entanto, a questão pede o tempo do último atleta ($t_4$). Como sabemos que ele correu em $\frac{3}{4}$ do tempo do primeiro, basta calcular:

$t_4 = \frac{3}{4} \cdot 96$ $t_4 = 3 \cdot \frac{96}{4}$ $t_4 = 3 \cdot 24$ $t_4 = 72 \text{ segundos}$

Portanto, o último atleta realizou seu percurso em $72$ segundos.