Questão 161 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar a área máxima que um terreno retangular pode ter, sabendo que o seu perímetro é de $40\text{ m}$.

Vamos chamar as dimensões desse terreno retangular de $x$ (largura) e $y$ (comprimento). O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus lados, ou seja: $2x + 2y = 40$

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $2$: $x + y = 20$ Isolando o $y$, obtemos: $y = 20 - x$

A área $A$ de um retângulo é dada pela multiplicação da sua largura pelo seu comprimento: $A = x \cdot y$

Substituindo a expressão que encontramos para $y$ na fórmula da área, teremos a área em função de apenas uma variável ($x$): $A(x) = x \cdot (20 - x)$ $A(x) = -x^2 + 20x$

Observe que a função da área é uma função quadrática (do segundo grau) onde o coeficiente $a = -1$ e $b = 20$. Como $a < 0$, a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo, o que significa que ela possui um ponto de máximo (o vértice da parábola).

Para encontrar o valor de $x$ que maximiza a área, calculamos o $x$ do vértice ($x_v$): $x_v = \frac{-b}{2a}$ $x_v = \frac{-20}{2 \cdot (-1)}$ $x_v = \frac{-20}{-2} = 10$

Isso significa que a largura ideal do terreno é $10\text{ m}$. Como $y = 20 - x$, o comprimento também será: $y = 20 - 10 = 10\text{ m}$

Sempre que quisermos maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo, a figura geométrica ideal será um quadrado.

Por fim, calculamos a área máxima substituindo as dimensões encontradas: $A_{\text{m\u00e1x}} = 10\text{ m} \cdot 10\text{ m} = 100\text{ m}^2$

Portanto, a construção ideal para aproveitar o máximo de área possível é um pátio com $100\text{ m}^2$.