Questão 156 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a área coberta pelas placas em cada uma das situações descritas.

Primeiro, vamos olhar para a situação original. Temos placas quadradas com lado medindo $y$. A área de uma única placa original é dada por: $A_{original} = y^2$

Essas placas são vendidas em caixas com $N$ unidades. A área total $S$ que essa caixa consegue cobrir é a soma das áreas de todas as $N$ placas. Portanto: $S = N \cdot y^2$

Agora, vamos analisar a nova situação. A fábrica decidiu triplicar a medida dos lados das placas. Assim, o novo lado passa a medir $3y$. A área de uma única placa do novo modelo será: $A_{nova} = (3y)^2 = 9y^2$ Note que, ao triplicar o lado do quadrado, a sua área é multiplicada por $9$.

Essas novas placas serão vendidas em caixas com $X$ unidades, e o enunciado nos diz que a área total coberta $S$ não foi alterada. Ou seja, a área total das $X$ placas novas deve ser igual à área total das $N$ placas originais. Podemos escrever a área total da nova caixa como: $S = X \cdot 9y^2$

Como a área $S$ é a mesma em ambas as situações, podemos igualar as duas equações que encontramos: $X \cdot 9y^2 = N \cdot y^2$

Nosso objetivo é descobrir a quantidade $X$ de placas na nova caixa. Para isso, basta isolar o $X$ na equação. Como $y^2$ é uma medida de área e, portanto, diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por $y^2$: $X \cdot 9 = N$ $X = \frac{N}{9}$

Isso significa que, como cada placa nova cobre uma área $9$ vezes maior, precisaremos de $9$ vezes menos placas para cobrir a mesma área total $S$.

Portanto, a quantidade $X$ de placas do novo modelo em cada nova caixa será igual a $\frac{N}{9}$.