Questão 172 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a vista superior dos cilindros, que nos mostra quatro círculos menores tangentes entre si e tangentes a um círculo maior que os envolve.

Vamos chamar o raio dos círculos menores de $r$ e o raio do círculo maior de $R$. O enunciado nos diz que $r = 6\text{ cm}$.

Imagine os centros dos quatro círculos menores. Como eles são tangentes entre si, a distância entre os centros de dois círculos adjacentes é igual à soma de seus raios, ou seja, $r + r = 2r$. Ao ligarmos os centros desses quatro círculos, formamos um quadrado cujo lado mede $2r$.

O centro do círculo maior coincide com o centro desse quadrado. Para encontrar o raio $R$ do círculo maior, podemos traçar um segmento de reta que sai do centro do círculo maior, passa pelo centro de um dos círculos menores e vai até a borda do círculo maior (no ponto de tangência).

O comprimento desse segmento é exatamente o raio $R$. Podemos dividi-lo em duas partes:

1. A distância do centro do círculo maior até o centro do círculo menor.
2. A distância do centro do círculo menor até a borda (que é o próprio raio $r$).

A distância do centro do círculo maior até o centro de um círculo menor é igual à metade da diagonal do quadrado que formamos. Sabemos que a diagonal ($d$) de um quadrado de lado $L$ é dada por $d = L\sqrt{2}$.

Como o lado do nosso quadrado é $2r$, a diagonal inteira mede $2r\sqrt{2}$. A metade dessa diagonal será, portanto: $\frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$

Agora, somamos essa distância ao raio do círculo menor para obter o raio do círculo maior: $R = r\sqrt{2} + r$

Colocando $r$ em evidência, temos: $R = r(\sqrt{2} + 1)$

Como o problema nos informa que $r = 6\text{ cm}$, basta substituir esse valor na equação: $R = 6(\sqrt{2} + 1)\text{ cm}$

Reescrevendo a expressão para ficar idêntica à alternativa, obtemos: $R = 6(1 + \sqrt{2})\text{ cm}$