Questão 173 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender a geometria da vela original. O enunciado nos diz que a vela é formada por $4$ blocos de parafina separados por espaços vazios. Se imaginarmos esses blocos unidos, sem os espaços, eles formariam uma pirâmide quadrangular regular perfeita, pois a base superior de um bloco tem as mesmas dimensões da base inferior do bloco de cima.

Descobrindo a altura real da pirâmide de parafina

A altura total da vela montada é de $19 \text{ cm}$. No entanto, essa altura inclui os espaços vazios entre os blocos. Como são $4$ blocos, existem $3$ espaços entre eles (um entre o 1º e o 2º, outro entre o 2º e o 3º, e o último entre o 3º e o 4º).

Cada espaço mede $1 \text{ cm}$, totalizando: $3 \times 1 \text{ cm} = 3 \text{ cm de espaço vazio}$

Subtraindo esses espaços da altura total, encontramos a altura real apenas da parafina (a altura da pirâmide contínua): $H_{\text{total}} = 19 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$

Como os $4$ blocos têm a mesma altura, a altura de cada bloco individual é: $h_{\text{bloco}} = \frac{16 \text{ cm}}{4} = 4 \text{ cm}$

Calculando o volume total da pirâmide

Se a vela fosse fabricada inteira, sem retirar nenhuma parte, ela seria uma pirâmide com base quadrada de aresta $6 \text{ cm}$ e altura de $16 \text{ cm}$. O volume de uma pirâmide é dado por: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot H$

Substituindo os valores: $V_{\text{total}} = \frac{1}{3} \cdot (6^2) \cdot 16$ $V_{\text{total}} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 16$ $V_{\text{total}} = 12 \cdot 16 = 192 \text{ cm}^3$

Esse seria o gasto de parafina para a vela completa.

Calculando o volume da pirâmide superior (que será retirada)

O dono da fábrica quer retirar o bloco superior, que é uma pequena pirâmide. Sabemos que a aresta da base dessa pirâmide é $1,5 \text{ cm}$ e, como calculamos anteriormente, a altura de qualquer bloco é $4 \text{ cm}$.

Vamos calcular o volume dessa pequena pirâmide: $V_{\text{topo}} = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h$ $V_{\text{topo}} = \frac{1}{3} \cdot (1,5^2) \cdot 4$ $V_{\text{topo}} = \frac{1}{3} \cdot 2,25 \cdot 4$ $V_{\text{topo}} = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \text{ cm}^3$

(Nota: Você também poderia achar esse volume por semelhança de sólidos. A razão de semelhança linear entre a pirâmide do topo e a pirâmide total é $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. A razão entre os volumes é o cubo da razão linear: $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$. Assim, $V_{\text{topo}} = \frac{192}{64} = 3 \text{ cm}^3$.)

Conclusão

O novo modelo de vela será formado por toda a parafina original, exceto a pirâmide do topo. Portanto, o volume de parafina gasto será a diferença entre o volume total e o volume do topo: $V_{\text{novo}} = V_{\text{total}} - V_{\text{topo}}$ $V_{\text{novo}} = 192 \text{ cm}^3 - 3 \text{ cm}^3 = 189 \text{ cm}^3$

O dono da fábrica passará a gastar $189 \text{ cm}^3$ de parafina por vela.