Questão 169 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a situação inicial da fábrica e compará-la com a nova situação após os aumentos na produção e no número de garrafas.

Situação Inicial

Sabemos que a fábrica produzia $200\,000$ garrafas e que cada uma tinha a capacidade de $2$ litros. Com isso, podemos calcular a produção total de suco inicial multiplicando a quantidade de garrafas pelo volume de cada uma: $\text{Volume inicial} = 200\,000 \times 2 = 400\,000 \text{ litros}$

Nova Situação

O enunciado afirma que a produção de suco aumentou em $20\%$. Para encontrar o novo volume total de suco, calculamos esse acréscimo sobre o volume inicial (multiplicando por $1,20$): $\text{Novo volume} = 400\,000 \times 1,20 = 480\,000 \text{ litros}$

Além disso, a quantidade de garrafas utilizadas aumentou em $60\%$ em relação à quantidade inicial. Vamos calcular o novo número de garrafas (multiplicando por $1,60$): $\text{Novas garrafas} = 200\,000 \times 1,60 = 320\,000 \text{ garrafas}$

Capacidade da Nova Embalagem

O problema diz que essas $320\,000$ garrafas devem ser suficientes para envazar todo o suco produzido, ou seja, os $480\,000$ litros. Se chamarmos de $V$ a capacidade da nova garrafa, a capacidade total disponível deve ser maior ou igual ao volume de suco: $320\,000 \times V \ge 480\,000$ $V \ge \frac{480\,000}{320\,000}$ $V \ge 1,5 \text{ litros}$

Isso significa que a nova garrafa deve ter, no mínimo, $1,5$ litros de capacidade para que não falte espaço para o suco.

Redução na Embalagem

A questão pede a quantidade máxima de suco que deverá ser reduzida na nova embalagem em relação à original de $2$ litros. A redução é dada pela diferença entre a capacidade antiga e a nova: $\text{Redução} = 2 - V$

Como a nova garrafa precisa ter no mínimo $1,5$ litros ($V \ge 1,5$), a redução máxima ocorrerá quando a garrafa tiver exatamente esse tamanho mínimo. Assim: $\text{Redução máxima} = 2 - 1,5 = 0,5 \text{ litros}$

Portanto, a quantidade máxima que poderá ser reduzida na capacidade da embalagem é de $0,5$ litro.