Questão 172 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos analisar as duas exigências da fábrica para a nova lata cilíndrica:

1. Ter, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica (volume) da lata atual.
2. Ter o menor custo possível.

O enunciado também nos informa que o preço da lata é diretamente proporcional ao seu volume. Isso significa que, para garantir o menor custo possível, devemos escolher a opção que atenda à primeira exigência (ter pelo menos o triplo do volume) sem exceder esse valor mais do que o necessário. Ou seja, buscamos a lata com o menor volume dentre aquelas que possuem volume maior ou igual ao triplo do original.

Vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro. Se a lata atual tem raio da base $r$ e altura $h$, seu volume $V$ é dado por: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

O volume da nova lata deve ser, no mínimo, $3V$. Vamos calcular o volume para cada uma das opções oferecidas pelo representante:

Opção I: Multiplicar a medida do raio por $6$ e manter a da altura. O novo raio será $6r$ e a altura continuará $h$. $V_I = \pi \cdot (6r)^2 \cdot h = \pi \cdot 36r^2 \cdot h = 36 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 36V$

Opção II: Triplicar as medidas da área da base e da altura. A área da base original é $A_b = \pi \cdot r^2$. A nova área da base será $3A_b$ e a nova altura será $3h$. $V_{II} = \text{Área da base} \cdot \text{altura} = (3A_b) \cdot (3h) = 9 \cdot A_b \cdot h = 9V$

Opção III: Triplicar a medida do raio e manter a da altura. O novo raio será $3r$ e a altura continuará $h$. $V_{III} = \pi \cdot (3r)^2 \cdot h = \pi \cdot 9r^2 \cdot h = 9 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 9V$

Opção IV: Manter a medida do raio e triplicar a da altura. O raio continuará $r$ e a nova altura será $3h$. $V_{IV} = \pi \cdot r^2 \cdot (3h) = 3 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 3V$

Opção V: Triplicar as medidas do raio e da altura. O novo raio será $3r$ e a nova altura será $3h$. $V_V = \pi \cdot (3r)^2 \cdot (3h) = \pi \cdot 9r^2 \cdot 3h = 27 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 27V$

Analisando os resultados, vemos que todas as opções atendem à exigência de ter, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica ($3V$). No entanto, como o custo é proporcional ao volume e queremos o menor custo possível, devemos escolher a lata com o menor volume dentre as opções válidas.

A opção IV resulta em um volume exatamente igual a $3V$, sendo a menor capacidade volumétrica entre as alternativas que cumprem a exigência. Logo, ela será a opção mais barata.

Portanto, as exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção IV.