Questão 157 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos relacionar a quantidade de caminhões com a capacidade de carga de cada um, tanto na situação original quanto na situação atual (com a redução de carga).

Vamos definir algumas variáveis para facilitar o raciocínio:

• Seja $C$ a capacidade máxima original de carga de cada caminhão (em toneladas).
• O total a ser transportado é de $90$ toneladas.

Na situação original, o número de caminhões necessários para transportar toda a produção seria dado pela razão entre a carga total e a capacidade de cada caminhão: $\text{Número original de caminhões} = \frac{90}{C}$

A fábrica adotou uma política de redução, diminuindo a capacidade de cada caminhão em $0,5$ tonelada (meia tonelada). Assim, a nova capacidade de cada caminhão passa a ser $C - 0,5$.

Com essa nova capacidade, o número atual de caminhões necessários é: $\text{Número atual de caminhões} = \frac{90}{C - 0,5}$

O enunciado nos diz que, com essa redução, o número de caminhões aumenta em $6$ unidades em relação à situação original. Podemos escrever isso como uma equação: $\frac{90}{C - 0,5} = \frac{90}{C} + 6$

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar o valor de $C$. Para simplificar, podemos dividir todos os termos por $6$: $\frac{15}{C - 0,5} = \frac{15}{C} + 1$

Para eliminar os denominadores, multiplicamos toda a equação pelo mínimo múltiplo comum, que é $C(C - 0,5)$: $15 \cdot C = 15 \cdot (C - 0,5) + 1 \cdot C \cdot (C - 0,5)$

Desenvolvendo os termos: $15C = 15C - 7,5 + C^2 - 0,5C$

Subtraindo $15C$ de ambos os lados e reorganizando a equação, chegamos a uma equação do 2º grau: $C^2 - 0,5C - 7,5 = 0$

Para facilitar os cálculos e evitar trabalhar com números decimais, podemos multiplicar toda a equação por $2$: $2C^2 - C - 15 = 0$

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro, calculamos o discriminante ($\Delta$): $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)$ $\Delta = 1 + 120 = 121$

Em seguida, encontramos as raízes para $C$: $C = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2}$ $C = \frac{1 \pm 11}{4}$

Isso nos dá dois valores possíveis: $C_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$ $C_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Como a capacidade de um caminhão não pode ser um valor negativo, descartamos $C_2 = -2,5$. Portanto, a capacidade original de cada caminhão era de $C = 3$ toneladas.

Atenção ao que a questão pede: queremos o número atual de caminhões, ou seja, a quantidade de caminhões respeitando a política de redução de carga.

A capacidade atual de cada caminhão é: $3 - 0,5 = 2,5 \text{ toneladas}$

O número atual de caminhões será a carga total dividida por essa nova capacidade: $\text{Número atual} = \frac{90}{2,5} = 36 \text{ caminhões}$

(Como verificação, o número original de caminhões seria $90 / 3 = 30$. O número atual é $36$, o que confirma o aumento de $6$ caminhões mencionado no enunciado).

Portanto, a fábrica usa atualmente $36$ caminhões.