Questão 144 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos analisar quais são as faces que compõem a superfície externa do protótipo e agrupá-las de acordo com a sua forma e tamanho (congruência).

O protótipo é formado pela união de dois sólidos:

1. Prisma hexagonal regular reto: Originalmente, possui $2$ bases hexagonais regulares congruentes e $6$ faces laterais retangulares congruentes entre si.
2. Tronco de pirâmide hexagonal reta: Originalmente, possui $1$ base maior hexagonal regular, $1$ base menor hexagonal regular e $6$ faces laterais que são trapézios isósceles congruentes entre si.

O enunciado nos diz que a base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma. Quando colamos ou justapomos essas duas faces, elas ficam no interior do sólido e deixam de fazer parte da superfície externa do protótipo.

Assim, a superfície externa do protótipo será composta pelas seguintes faces:

• $1$ base do prisma: um hexágono regular (do mesmo tamanho da base maior do tronco).
• $6$ faces laterais do prisma: retângulos congruentes entre si.
• $1$ base menor do tronco: um hexágono regular (menor que a base do prisma, logo, não congruente a ela).
• $6$ faces laterais do tronco: trapézios isósceles congruentes entre si.

O critério de pintura estabelece que faces congruentes recebem a mesma cor e faces não congruentes recebem cores distintas. Vamos contar quantas cores serão necessárias:

• Cor 1: Para a base livre do prisma (hexágono maior).
• Cor 2: Para as $6$ faces laterais do prisma (retângulos).
• Cor 3: Para a base menor do tronco (hexágono menor).
• Cor 4: Para as $6$ faces laterais do tronco (trapézios isósceles).

Como nenhuma dessas quatro categorias de faces é congruente com as outras (um hexágono maior, um hexágono menor, retângulos e trapézios são todos diferentes entre si), precisaremos de exatamente $4$ cores distintas para pintar o protótipo.