Questão 164 do ENEM 2015 — Matemática

Para descobrir o preço que a fábrica deve cobrar pela pizza grande, precisamos primeiro calcular o seu custo total de produção e, em seguida, somar o lucro desejado.

O enunciado nos informa que o custo com os ingredientes é diretamente proporcional ao quadrado do diâmetro da pizza. Podemos expressar essa relação matemática da seguinte forma: $C = k \cdot d^2$ onde $C$ é o custo dos ingredientes, $d$ é o diâmetro e $k$ é uma constante de proporcionalidade.

Para a pizza média, sabemos que o diâmetro é $d = 30 \text{ cm}$ e o custo dos ingredientes é $C = 1,80$. Substituindo esses valores na fórmula, podemos encontrar o valor da constante $k$: $1,80 = k \cdot 30^2$ $1,80 = k \cdot 900$ $k = \frac{1,80}{900} = 0,002$

Agora, vamos utilizar essa constante para calcular o custo dos ingredientes da pizza grande, cujo diâmetro é $d = 40 \text{ cm}$: $C = 0,002 \cdot 40^2$ $C = 0,002 \cdot 1600$ $C = 3,20$ Portanto, o custo com os ingredientes da pizza grande é de \text{R\ } 3,20$.

Dica: Outra forma de resolver essa etapa seria montar uma proporção direta com os quadrados dos diâmetros, sem precisar encontrar a constante $k$: $\frac{C_{\text{grande}}}{C_{\text{média}}} = \frac{d_{\text{grande}}^2}{d_{\text{média}}^2}$ $\frac{C_{\text{grande}}}{1,80} = \frac{40^2}{30^2} = \frac{1600}{900} = \frac{16}{9}$ $C_{\text{grande}} = 1,80 \cdot \frac{16}{9} = 3,20$

Com o custo dos ingredientes em mãos, precisamos calcular o custo total da pizza grande. O problema nos diz que há um custo fixo de \text{R\ } 3,00$ para todas as pizzas, referente às demais despesas da fábrica. Assim, o custo total será a soma do custo dos ingredientes com o custo fixo: $\text{Custo Total} = \text{Custo dos Ingredientes} + \text{Custo Fixo}$ $\text{Custo Total} = 3,20 + 3,00 = 6,20$

Por fim, a fábrica deseja obter um lucro de \text{R\ } 2,50$ em cada pizza grande. O preço de venda deve cobrir o custo total e ainda garantir esse lucro: $\text{Preço de Venda} = \text{Custo Total} + \text{Lucro}$ $\text{Preço de Venda} = 6,20 + 2,50 = 8,70$

Logo, a fábrica deve cobrar \text{R\ } 8,70$ pela pizza grande para obter o lucro desejado.