Questão 136 do ENEM 2022 — Matemática

ENEM 2022MatemáticaPPL

Uma faculdade oferece dois cursos diferentes na área de Humanas. Para um aluno ingressar nesses cursos, o vestibular contém questões objetivas e uma redação, e a nota final do candidato é a soma dessas notas, utilizando o seguinte critério de pesos:

questões objetivas: peso 1 para o curso I e peso 1 para o curso II;
redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o curso II.

Um candidato que concorre aos dois cursos obteve nota $X$ nas questões objetivas e nota $Y$ na redação. Para analisar sua nota para o curso I e para o curso II, o candidato representa sua nota com um produto de matrizes $A \cdot B$, em que a matriz $A$ representa os pesos, e a matriz $B$ contém as notas obtidas pelo candidato. A matriz resultante $A \cdot B$ é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II.

Nessas condições, qual representação algébrica gera o resultado final desse candidato nos dois cursos?

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$

Resposta correta

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix}$

Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

A nota final de cada curso é a soma das notas das questões objetivas ( $X$ ) e da redação ( $Y$ ), cada uma multiplicada pelo seu peso. Vamos montar essas expressões e depois traduzi-las para um produto de matrizes.

Curso I:

Peso das questões objetivas: $1$
Peso da redação: $2$
Nota final do Curso I: $1 \cdot X + 2 \cdot Y$

Curso II:

Peso das questões objetivas: $1$
Peso da redação: $3$
Nota final do Curso II: $1 \cdot X + 3 \cdot Y$

O problema pede que essas notas apareçam em uma matriz coluna resultante do produto $A \cdot B$ , com a nota do Curso I na primeira linha e a do Curso II na segunda. Ou seja, queremos chegar em:

$\begin{pmatrix} 1X + 2Y \\ 1X + 3Y \end{pmatrix}$

Como a matriz $B$ contém as notas obtidas, tomamos $B = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ . Para que a multiplicação resulte em uma matriz coluna $2 \times 1$ , a matriz $A$ (dos pesos) precisa ser $2 \times 2$ .

Aplicando a regra de multiplicação de matrizes (linha por coluna):

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aX + bY \\ cX + dY \end{pmatrix}$

Comparando com as notas que calculamos:

Primeira linha (Curso I): $aX + bY = 1X + 2Y$ , logo $a = 1$ e $b = 2$ .
Segunda linha (Curso II): $cX + dY = 1X + 3Y$ , logo $c = 1$ e $d = 3$ .

Substituindo em $A$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Portanto, a representação algébrica que gera o resultado final do candidato nos dois cursos é:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$

Essa expressão corresponde à alternativa B.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2022 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.