Uma família deseja realizar um jantar comemorativo de um casamento e dispõe para isso de um salão de festas de um clube, onde a área disponível para acomodação das mesas é de 500 m 2 . As 100 mesas existentes no salão encontram-se normalmente agrupadas duas a duas, comportando 6 cadeiras. A área de cada mesa é de 1 m 2 e o espaço necessário em torno deste agrupamento, para acomodação das cadeiras e para circulação, é de 6 m 2 . As mesas podem ser dispostas de maneira isolada, comportando 4 pessoas cada. Nessa situação, o espaço necessário para acomodação das cadeiras e para circulação é de 4 m 2 . O número de convidados previsto para o evento é de 400 pessoas. Para poder acomodar todos os convidados sentados, com as mesas existentes e dentro da área disponível para acomodação das mesas e cadeiras, como deverão ser organizadas as mesas?

Questão 173 do ENEM 2012 — Matemática

ENEM 2012Matemática2ª aplicação

Uma família deseja realizar um jantar comemorativo de um casamento e dispõe para isso de um salão de festas de um clube, onde a área disponível para acomodação das mesas é de 500 m². As 100 mesas existentes no salão encontram-se normalmente agrupadas duas a duas, comportando 6 cadeiras. A área de cada mesa é de 1 m² e o espaço necessário em torno deste agrupamento, para acomodação das cadeiras e para circulação, é de 6 m². As mesas podem ser dispostas de maneira isolada, comportando 4 pessoas cada. Nessa situação, o espaço necessário para acomodação das cadeiras e para circulação é de 4 m². O número de convidados previsto para o evento é de 400 pessoas.

Para poder acomodar todos os convidados sentados, com as mesas existentes e dentro da área disponível para acomodação das mesas e cadeiras, como deverão ser organizadas as mesas?

Todas deverão ser separadas.

Resposta correta

Todas mantidas no agrupamento original de duas mesas.

Um terço das mesas separadas e dois terços agrupadas duas a duas.

Um quarto das mesas separadas e o restante em agrupamento de duas a duas.

Sessenta por cento das mesas separadas e quarenta por cento agrupadas duas a duas.

Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Para resolver esse problema, precisamos analisar as duas formas possíveis de organizar as mesas e verificar como elas afetam o número de convidados acomodados e a área ocupada no salão.

Primeiro, vamos organizar as informações dadas para cada tipo de disposição:

1. Mesas agrupadas duas a duas:

Quantidade de mesas: $2$ mesas por agrupamento.
Capacidade: $6$ pessoas.
Área ocupada: Cada mesa tem $1\text{ m}^2$ , então $2$ mesas ocupam $2\text{ m}^2$ . Somando o espaço de circulação de $6\text{ m}^2$ , a área total de um agrupamento é $2 + 6 = 8\text{ m}^2$ .

2. Mesas isoladas (separadas):

Quantidade de mesas: $1$ mesa.
Capacidade: $4$ pessoas.
Área ocupada: A mesa tem $1\text{ m}^2$ . Somando o espaço de circulação de $4\text{ m}^2$ , a área total de uma mesa isolada é $1 + 4 = 5\text{ m}^2$ .

O problema nos diz que temos um total de $100$ mesas e precisamos acomodar $400$ convidados. Vamos pensar na média de pessoas por mesa que precisamos atingir:

$\text{Média necessária} = \frac{400\text{ pessoas}}{100\text{ mesas}} = 4\text{ pessoas por mesa}$

Agora, vamos ver a média de pessoas por mesa em cada configuração:

Nas mesas isoladas, temos $4$ pessoas em $1$ mesa, o que dá exatamente uma média de $4$ pessoas por mesa.
Nos agrupamentos, temos $6$ pessoas em $2$ mesas, o que dá uma média de apenas $3$ pessoas por mesa.

Como precisamos de uma média exata de $4$ pessoas por mesa para conseguir acomodar todos os $400$ convidados usando as $100$ mesas, não podemos usar nenhum agrupamento. Se usássemos sequer um agrupamento, a média cairia e não teríamos lugar para todos. Portanto, a única maneira de acomodar as $400$ pessoas é deixando todas as $100$ mesas separadas.

Para ter certeza de que essa configuração é viável, precisamos verificar se ela respeita o limite de área do salão, que é de $500\text{ m}^2$ .

Se tivermos $100$ mesas isoladas, a área total ocupada será: $\text{Área total} = 100 \times 5\text{ m}^2 = 500\text{ m}^2$

Essa área é exatamente igual à área disponível no salão. Portanto, a solução atende a todas as exigências do problema: acomoda os $400$ convidados usando as $100$ mesas e ocupa exatamente os $500\text{ m}^2$ disponíveis.

Concluímos que todas as mesas deverão ser separadas.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2012 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.