Questão 138 do ENEM 2019 — Matemática

ENEM 2019MatemáticaPPL

Uma formiga encontra-se no ponto $X$, no lado externo de um copo que tem a forma de um cilindro reto. No lado interno, no ponto $V$, existe um grão de açúcar preso na parede do copo. A formiga segue o caminho $XYZWV$ (sempre sobre a superfície lateral do copo), de tal forma que os trechos $ZW$ e $WV$ são realizados na superfície interna do copo. O caminho $XYZWV$ é mostrado na figura.

Desenho de um cilindro transparente representando um copo. Há pontos marcados: X no lado externo, Y na borda superior, Z na borda superior em outra posição, W no lado interno abaixo de Z, e V no lado interno à mesma altura de W. O caminho XYZWV é indicado por linhas tracejadas e contínuas.

Sabe-se que: os pontos $X$, $V$, $W$ se encontram à mesma distância da borda; o trajeto $WV$ é o mais curto possível; os trajetos $XY$ e $ZW$ são perpendiculares à borda do copo; e os pontos $X$ e $V$ se encontram diametralmente opostos.

Supondo que o copo é de material recortável, realiza-se um corte pelo segmento unindo $P$ a $Q$, perpendicular à borda do copo, e recorta-se também sua base, obtendo então uma figura plana. Desconsidere a espessura do copo.

Considerando apenas a planificação da superfície lateral do copo, a trajetória da formiga é
Planificação retangular com pontos X, Y, Z, W, V. O caminho é composto por segmentos verticais XY e ZW, e um segmento horizontal WV.
Resposta correta
B
Planificação com bordas curvas. O caminho mostra segmentos verticais e uma curva entre W e V.
C
Planificação retangular com pontos em posições diferentes da alternativa A.
D
Planificação com bordas curvas e trajetória similar à alternativa A.
E
Planificação com bordas curvas e pontos em posições inferiores.
Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Para resolver, precisamos imaginar o processo de "desmontar" o copo e analisar como cada trecho do caminho da formiga se comporta na figura plana resultante.

O formato da planificação

O enunciado diz que o copo tem a forma de um cilindro reto e que o corte é feito por um segmento perpendicular à borda. Quando desenrolamos (planificamos) a superfície lateral de um cilindro reto, cortando-o de cima a baixo, a figura resultante é sempre um retângulo.

Com isso, já podemos descartar qualquer alternativa que apresente bordas curvas, pois a planificação de um cilindro reto não tem lados curvos.

Analisando os trajetos verticais

Entre as opções retangulares, analisamos os movimentos:

  1. O texto afirma que os trajetos XYXY e ZWZW são perpendiculares à borda do copo.
  2. Na planificação retangular, a borda do copo é representada pelas linhas horizontais (superior e inferior).
  3. Um trajeto perpendicular a uma linha horizontal é obrigatoriamente uma linha vertical.

Além disso, pelo enunciado o caminho é XYZWVXYZWV, com XX na face externa e VV na face interna do copo. Para a formiga passar de fora para dentro, ela precisa transpor a borda do copo. Assim, os pontos YY e ZZ — extremidades dos trechos verticais que atingem a borda — situam-se na borda superior. Na planificação, isso coloca YY e ZZ na borda superior do retângulo, com XX e WW abaixo deles.

Isso elimina a alternativa que posiciona esses pontos na borda inferior.

O trajeto horizontal

Por fim, o trecho WVWV:

  • O enunciado diz que XX, VV e WW estão à mesma distância da borda. Na planificação, isso significa que estão alinhados na mesma altura.
  • O trajeto WVWV é o mais curto possível.
  • Na geometria plana, a menor distância entre dois pontos é sempre um segmento de reta.

Como WW e VV estão na mesma altura, o segmento que os une é uma reta horizontal.

A alternativa que atende a todas essas condições — retângulo de bordas retas, com XYXY e ZWZW verticais chegando à borda superior e WVWV horizontal — é a A.

Ainda com dúvida nesta questão?

Crie sua conta gratuita e peça ao Darwin, o tutor de IA do Alvo, para explicar do seu jeito — e treine questões como esta na sua trilha adaptativa.

Fonte: prova oficial do ENEM 2019 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.