Questão 140 do ENEM 2021 — Matemática

Para descobrir qual será o tipo de comissão que os representantes do supermercado receberão, precisamos calcular a média mensal de faturamento ($M$) ao longo do ano.

Observando a tabela fornecida, notamos que os valores de faturamento se repetem por diferentes quantidades de meses. Isso significa que não podemos simplesmente somar os valores da coluna de faturamento e dividir pela quantidade de linhas. Precisamos calcular uma média aritmética ponderada, onde o "peso" de cada faturamento é a quantidade de meses em que ele ocorreu.

Primeiro, vamos calcular o faturamento total do supermercado durante o ano. Para isso, multiplicamos cada valor de faturamento mensal pela respectiva quantidade de meses e somamos os resultados:

$\text{Faturamento Total} = (3{,}5 \times 3) + (2{,}5 \times 2) + (5 \times 2) + (3 \times 4) + (7{,}5 \times 1)$

Realizando as multiplicações:

• $3{,}5 \times 3 = 10{,}5$
• $2{,}5 \times 2 = 5$
• $5 \times 2 = 10$
• $3 \times 4 = 12$
• $7{,}5 \times 1 = 7{,}5$

Agora, somamos todos esses valores para obter o total arrecadado no ano:

$\text{Faturamento Total} = 10{,}5 + 5 + 10 + 12 + 7{,}5 = 45 \text{ milhões de reais}$

O próximo passo é dividir esse faturamento total pelo número total de meses do ano. Podemos confirmar a quantidade de meses somando a segunda coluna da tabela:

$\text{Total de meses} = 3 + 2 + 2 + 4 + 1 = 12 \text{ meses}$

Agora, calculamos a média mensal ($M$):

$M = \frac{45}{12}$

Realizando a divisão, encontramos:

$M = 3{,}75 \text{ milhões de reais}$

Com o valor da média mensal em mãos ($M = 3{,}75$), voltamos à primeira tabela para verificar em qual faixa de comissão esse valor se encaixa.

Analisando as condições:

• I: $1 \leq M < 2$
• II: $2 \leq M < 4$
• III: $4 \leq M < 5$
• IV: $5 \leq M < 6$
• V: $M \geq 6$

O valor $3{,}75$ é maior ou igual a $2$ e menor que $4$ ($2 \leq 3{,}75 < 4$). Portanto, ele se enquadra perfeitamente na faixa da Comissão II.

Um cuidado muito importante nessa questão é evitar a "armadilha" da média simples. Se somássemos apenas os valores de faturamento ($3{,}5 + 2{,}5 + 5 + 3 + 7{,}5 = 21{,}5$) e dividíssemos por $5$ (o número de linhas da tabela), encontraríamos $4{,}3$, o que nos levaria erroneamente à alternativa C. Lembre-se sempre de considerar a frequência (os pesos) com que cada valor ocorre!