Questão 162 do ENEM 2024 — Matemática

A Estratégia do Comprador

Para que o valor total pago pelo cliente seja o menor possível, ele precisa que a imobiliária pague as parcelas mais caras. O enunciado nos diz que cada parcela sofre um acréscimo percentual fixo em relação à anterior. Isso significa que os valores das parcelas formam uma Progressão Geométrica (PG) crescente.

Portanto, a parcela mais cara de todo o financiamento será a última, ou seja, a $100^{\text{a}}$ parcela. Para maximizar o seu benefício, o cliente deve planejar a compra para que essa $100^{\text{a}}$ parcela caia exatamente no mês do seu aniversário, que é maio.

Calculando o Tempo de Financiamento

Sabemos que a $100^{\text{a}}$ parcela deve ser paga em maio. Precisamos descobrir em que mês ocorre a $1^{\text{a}}$ parcela (o momento da compra).

A distância no tempo entre a $1^{\text{a}}$ e a $100^{\text{a}}$ parcela não é de $100$ meses, mas sim de $99$ meses (pois $100 - 1 = 99$). É como subir degraus: para ir do degrau $1$ ao $100$, você dá $99$ passos.

Voltando no Calendário

Agora, precisamos voltar $99$ meses no calendário a partir de maio. Como o nosso calendário se repete em ciclos de $12$ meses (um ano), podemos usar a divisão com resto (aritmética modular) para simplificar essa contagem.

Dividindo $99$ por $12$, temos:

$99 = 12 \times 8 + 3$

Isso significa que $99$ meses equivalem a $8$ anos completos mais $3$ meses.

Voltar $8$ anos no tempo nos deixa exatamente no mesmo mês de partida: maio. Agora, só precisamos voltar os $3$ meses restantes (o resto da divisão):

• Voltando $1$ mês: abril
• Voltando $2$ meses: março
• Voltando $3$ meses: fevereiro

Portanto, para garantir que a última e mais cara parcela do financiamento caia no mês de maio, a compra do apartamento (e o pagamento da primeira parcela) deve ser realizada em fevereiro.