Questão 156 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos garantir que a capacidade da nova embalagem seja exatamente igual à da embalagem antiga. Isso significa que o volume do frasco cilíndrico deve ser igual ao volume do frasco esférico.

O enunciado já nos fornece as fórmulas dos volumes para ambas as embalagens.

O volume do frasco esférico, que tem raio $R$, é dado por: $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi R^3$

O volume do frasco cilíndrico, que tem raio da base igual a $\frac{R}{3}$ e altura $h$, é dado por: $V_{\text{cilindro}} = \pi \left( \frac{R}{3} \right)^2 h$

Como a capacidade deve ser mantida, igualamos os dois volumes: $V_{\text{cilindro}} = V_{\text{esfera}}$ $\pi \left( \frac{R}{3} \right)^2 h = \frac{4}{3} \pi R^3$

Agora, nosso objetivo é isolar a altura $h$ para descobrir o seu valor em função de $R$.

Primeiro, vamos resolver a potência no lado esquerdo da equação: $\pi \left( \frac{R^2}{9} \right) h = \frac{4}{3} \pi R^3$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $\pi$: $\frac{R^2}{9} h = \frac{4}{3} R^3$

Para isolar o $h$, multiplicamos ambos os lados por $9$ e dividimos por $R^2$: $h = \frac{4}{3} R^3 \cdot \frac{9}{R^2}$

Simplificando a expressão, dividimos $9$ por $3$, o que resulta em $3$, e dividimos $R^3$ por $R^2$, o que resulta em $R$: $h = 4 \cdot 3 \cdot R$ $h = 12R$

Portanto, para que a capacidade seja mantida, a altura do frasco cilíndrico deverá ser igual a $12R$.