Questão 169 do ENEM 2022 — Matemática

ENEM 2022MatemáticaPPL

Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida $a$ e altura de medida $h$, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.

Desenho de um prisma reto de base quadrada com a palavra SUCO escrita na face frontal. A aresta da base está indicada pela letra a e a altura pela letra h.

Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.

A altura da nova embalagem será igual a $\frac{4}{3}$ da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de $x$.

Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?
A
$x = a$
B
$x = 3a$
C
$x = 9a$
$x = \frac{3a}{2}$
Resposta correta
E
$x = a\sqrt{3}$
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

O volume de um prisma reto é sempre a área da base multiplicada pela altura. Como as embalagens têm base quadrada, basta comparar essas duas medidas para achar a relação entre xx e aa.

Volume da embalagem atual

A embalagem original tem base quadrada de aresta aa (área a2a^2) e altura hh. Logo:

Vatual=a2⋅hV_{\text{atual}} = a^2 \cdot h

Volume da nova embalagem

A nova embalagem também é um prisma de base quadrada, mas com aresta xx e altura igual a 43\frac{4}{3} da altura antiga, ou seja, 43h\frac{4}{3}h:

Vnova=x2⋅(43h)V_{\text{nova}} = x^2 \cdot \left(\frac{4}{3}h\right)

Impondo a condição do problema

A nova capacidade deve ser o triplo da atual:

Vnova=3⋅VatualV_{\text{nova}} = 3 \cdot V_{\text{atual}}

x2⋅43h=3⋅a2hx^2 \cdot \frac{4}{3}h = 3 \cdot a^2 h

Como h>0h > 0, podemos cancelá-lo dos dois lados:

x2⋅43=3a2x^2 \cdot \frac{4}{3} = 3a^2

Multiplicando os dois lados por 34\frac{3}{4} (inverso de 43\frac{4}{3}):

x2=3a2⋅34=9a24x^2 = 3a^2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9a^2}{4}

Como xx e aa são comprimentos (positivos), extraímos a raiz quadrada:

x=9a24=3a2x = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}

Portanto, a relação entre a nova aresta e a atual é x=3a2x = \dfrac{3a}{2}, o que corresponde à alternativa D.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2022 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.