Questão 180 do ENEM 2011 — Matemática

ENEM 2011Matemática1ª aplicação

Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
A
0
B
1
C
3
4
Resposta correta
E
5
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

A questão fornece as funções de faturamento FT(q)=5qFT(q) = 5q e custo total CT(q)=2q+12CT(q) = 2q + 12. Para não ter prejuízo, o lucro deve ser não negativo:

LT(q)=FT(q)−CT(q)=5q−(2q+12)=3q−12≥0LT(q) = FT(q) - CT(q) = 5q - (2q + 12) = 3q - 12 \geq 0

3q≥12⇒q≥43q \geq 12 \Rightarrow q \geq 4

A quantidade mínima de produtos para não ter prejuízo é 4. Conferindo: se q=4q = 4, FT(4)=20FT(4) = 20 e CT(4)=20CT(4) = 20, lucro zero (sem prejuízo). Se q=3q = 3, FT(3)=15FT(3) = 15 e CT(3)=18CT(3) = 18, prejuízo de R$ 3,00.

Portanto, a alternativa correta é D (4 produtos).

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Fonte: prova oficial do ENEM 2011 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.