Questão 175 do ENEM 2024 — Matemática

A questão nos pede para comparar a capacidade (ou seja, o volume) de duas embalagens cilíndricas diferentes que podem ser formadas a partir de uma mesma folha retangular de alumínio de dimensões $10 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$.

Para resolver isso, precisamos lembrar como um retângulo se transforma na superfície lateral de um cilindro. Quando enrolamos a folha, um dos lados do retângulo se torna a altura ($h$) do cilindro, enquanto o outro lado se curva para formar o comprimento da circunferência da base ($C$).

Sabemos que o comprimento de uma circunferência é dado por: $C = 2 \pi R$ onde $R$ é o raio da base. A partir dessa fórmula, podemos isolar o raio: $R = \frac{C}{2\pi}$

Além disso, o volume ($V$) de um cilindro é calculado multiplicando a área da base pela altura: $V = \pi R^2 h$

Vamos analisar as duas opções de embalagem que a indústria pode montar.

Opção 1: Cilindro mais alto e estreito

Neste caso, usamos o lado menor como a circunferência da base e o lado maior como a altura.

• Circunferência da base ($C_1$): $10 \text{ cm}$
• Altura ($h_1$): $20 \text{ cm}$

Primeiro, encontramos o raio da base ($R_1$): $2 \pi R_1 = 10 \implies R_1 = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \text{ cm}$

Agora, calculamos o volume ($V_1$): $V_1 = \pi \cdot (R_1)^2 \cdot h_1$ $V_1 = \pi \cdot \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20$ $V_1 = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 20$ $V_1 = \frac{500}{\pi} \text{ cm}^3$

Opção 2: Cilindro mais baixo e largo

Aqui, fazemos o oposto: usamos o lado maior como a circunferência da base e o lado menor como a altura.

• Circunferência da base ($C_2$): $20 \text{ cm}$
• Altura ($h_2$): $10 \text{ cm}$

Encontrando o raio da base ($R_2$): $2 \pi R_2 = 20 \implies R_2 = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \text{ cm}$

Calculando o volume ($V_2$): $V_2 = \pi \cdot (R_2)^2 \cdot h_2$ $V_2 = \pi \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10$ $V_2 = \pi \cdot \frac{100}{\pi^2} \cdot 10$ $V_2 = \frac{1000}{\pi} \text{ cm}^3$

Conclusão

Comparando os dois volumes, temos que $\frac{1000}{\pi}$ é o dobro de $\frac{500}{\pi}$. Portanto, a embalagem de maior capacidade é a segunda, com um volume de $\frac{1000}{\pi} \text{ cm}^3$.

Um detalhe interessante para se notar é que, na fórmula do volume, o raio é elevado ao quadrado ($R^2$), enquanto a altura não é. Por isso, aumentar o raio (usando o lado maior para a circunferência) tem um impacto muito maior no volume final do que aumentar a altura.

A alternativa correta é a que apresenta o valor $\frac{1000}{\pi}$.