Questão 154 do ENEM 2021 — Matemática

Identificando os lados do triângulo

Em qualquer triângulo, a medida dos lados é proporcional à abertura de seus ângulos opostos. Ou seja, o maior lado é sempre oposto ao maior ângulo, e o menor lado é oposto ao menor ângulo. O enunciado nos fornece a seguinte relação de grandeza entre os ângulos: $A\hat{C}B < C\hat{A}B < A\hat{B}C$

Analisando os lados que ficam de frente para cada um desses ângulos, temos:

• O lado oposto ao ângulo $A\hat{C}B$ (vértice $C$) é o lado $\overline{AB}$.
• O lado oposto ao ângulo $C\hat{A}B$ (vértice $A$) é o lado $\overline{BC}$.
• O lado oposto ao ângulo $A\hat{B}C$ (vértice $B$) é o lado $\overline{AC}$.

Portanto, a relação entre os comprimentos dos lados deve ser: $AB < BC < AC$

Como os lados fornecidos medem 18, 14 e 12 cm, podemos associá-los diretamente:

• $AB = 12 \text{ cm}$
• $BC = 14 \text{ cm}$
• $AC = 18 \text{ cm}$

Analisando a dobradura

A peça foi dobrada ao longo do segmento $\overline{DE}$, que é paralelo à base $\overline{AC}$. O vértice $B$ original foi rebatido e passou a encostar no segmento $\overline{AC}$.

Quando fazemos uma dobradura, a linha da dobra (neste caso, $\overline{DE}$) funciona como um eixo de simetria. Isso significa que a distância do vértice $B$ original até a linha $\overline{DE}$ é exatamente igual à distância da linha $\overline{DE}$ até a nova posição do vértice $B$ (que agora está sobre $\overline{AC}$).

Como $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{AC}$, concluímos que a linha $\overline{DE}$ está posicionada exatamente na metade da altura do triângulo em relação à base $\overline{AC}$. Pelo Teorema de Tales (ou por semelhança de triângulos), uma reta paralela à base que corta a altura ao meio também corta os outros dois lados exatamente em seus pontos médios.

Logo, podemos afirmar que:

• $D$ é o ponto médio do lado $\overline{AB}$.
• $E$ é o ponto médio do lado $\overline{BC}$.

Calculando os segmentos

Sabendo que $D$ e $E$ são pontos médios, podemos calcular os comprimentos na figura original (antes da dobra):

• O segmento original $\overline{DB}$ mede metade de $AB$: $12 / 2 = 6 \text{ cm}$.
• O segmento original $\overline{BE}$ mede metade de $BC$: $14 / 2 = 7 \text{ cm}$.
• O segmento $\overline{EC}$ também mede metade de $BC$: $14 / 2 = 7 \text{ cm}$.

A dobradura não altera o comprimento do material, apenas o muda de lugar. Assim, na Figura 2, os segmentos dobrados $\overline{DB}$ e $\overline{BE}$ mantêm as exatas mesmas medidas que tinham antes de serem dobrados:

• $DB = 6 \text{ cm}$
• $BE = 7 \text{ cm}$

O problema pede o valor da soma dos comprimentos dos segmentos $\overline{DB}$, $\overline{BE}$ e $\overline{EC}$ na Figura 2. Basta somarmos os valores encontrados: $\text{Soma} = DB + BE + EC$ $\text{Soma} = 6 + 7 + 7 = 20 \text{ cm}$