Questão 160 do ENEM 2016 — Matemática

Como a temperatura da liga cai a uma taxa percentual constante a cada intervalo de tempo, precisamos modelar a situação com uma função exponencial.

Montando a equação

A temperatura inicial é $T_0 = 3000\,^\circ\text{C}$. A cada $30\text{ min}$, ela diminui $1\%$, ou seja, passa a valer $100\% - 1\% = 99\%$ do valor anterior. Em forma decimal, multiplicamos por $0,99$.

Chamando de $t$ o número de períodos de $30\text{ min}$, a temperatura é: $T(t) = T_0 \cdot (0,99)^t = 3000 \cdot (0,99)^t$

Queremos o tempo para que a temperatura chegue a $30\,^\circ\text{C}$: $30 = 3000 \cdot (0,99)^t$

Resolvendo a equação exponencial

Isolando a potência, dividimos ambos os lados por $3000$: $(0,99)^t = \frac{30}{3000} = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

Aplicando logaritmo na base $10$ dos dois lados: $\log_{10} (0,99)^t = \log_{10} (10^{-2})$

Pela propriedade $\log(a^b) = b \cdot \log a$, e como $\log_{10}(10^{-2}) = -2$: $t \cdot \log_{10} (0,99) = -2$

Agora reescrevemos $0,99 = \frac{99}{100}$ para usar os valores dados no enunciado: $t \cdot \left( \log_{10} 99 - \log_{10} 100 \right) = -2$

Sabemos que $\log_{10} 100 = 2$. Para $\log_{10} 99$, fatoramos $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$: $\log_{10} 99 = 2 \cdot \log_{10} 3 + \log_{10} 11$

Substituindo $\log_{10} 3 \approx 0,477$ e $\log_{10} 11 \approx 1,041$: $\log_{10} 99 = 2 \cdot 0,477 + 1,041 = 0,954 + 1,041 = 1,995$

Voltando à equação: $t \cdot (1,995 - 2) = -2$ $t \cdot (-0,005) = -2$ $t = \frac{-2}{-0,005} = 400$

Convertendo para horas

O valor $t = 400$ representa o número de intervalos de $30\text{ min}$. Como cada intervalo equivale a meia hora: $\text{Tempo} = 400 \cdot 0,5 = 200 \text{ horas}$

Portanto, o tempo mais próximo é $200$ horas, correspondente à alternativa D.