Questão 169 do ENEM 2022 — Matemática

Para saber qual caixa-d'água tem a maior capacidade, precisamos analisar como cada alteração de dimensão afeta o volume de um cilindro.

A fórmula do volume

O volume ($V$) de um cilindro reto é a área da base ($A_b$) vezes a profundidade ($P$): $V = A_b \cdot P$

Como a base é um círculo, a área depende do raio ($R$): $A_b = \pi \cdot R^2$

Substituindo: $V = \pi \cdot R^2 \cdot P$

O ponto-chave é perceber que mexer diretamente na área da base ou na profundidade altera o volume de forma linear (proporcional). Já mexer no raio altera o volume de forma quadrática: dobrar o raio multiplica a área por quatro ($2^2 = 4$).

Analisando os modelos

Chamando o volume do modelo I de $V_I = A_b \cdot P$, vamos comparar os demais.

Modelo II — dobro da profundidade ($2P$) e metade da área da base ($\frac{A_b}{2}$): $V_{II} = \left(\frac{A_b}{2}\right) \cdot (2P) = A_b \cdot P = V_I$ Igual ao modelo I.

Modelo III — dobro da profundidade ($2P$) e metade do raio ($\frac{R}{2}$). A área da base fica: $A_{b_{III}} = \pi \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{A_b}{4}$ E o volume: $V_{III} = \left(\frac{A_b}{4}\right) \cdot (2P) = \frac{1}{2} \cdot V_I$ Caiu pela metade.

Modelo IV — metade da profundidade ($\frac{P}{2}$) e dobro da área da base ($2A_b$): $V_{IV} = (2A_b) \cdot \left(\frac{P}{2}\right) = A_b \cdot P = V_I$ Igual ao modelo I.

Modelo V — metade da profundidade ($\frac{P}{2}$) e dobro do raio ($2R$). A nova área da base: $A_{b_V} = \pi \cdot (2R)^2 = 4\pi R^2 = 4A_b$ E o volume: $V_V = (4A_b) \cdot \left(\frac{P}{2}\right) = 2 \cdot A_b \cdot P = 2 \cdot V_I$ Dobrou em relação ao modelo I.

Conclusão

O modelo V é o único cujo volume supera o do modelo original, chegando ao dobro da capacidade. Isso acontece porque o ganho quadrático de dobrar o raio (área $\times 4$) supera com folga a perda linear de reduzir a profundidade à metade. A alternativa correta é a E.