Questão 145 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender a composição inicial da urna e como a adição de novas fichas altera a probabilidade de sortearmos uma ficha branca.

Analisando a situação inicial

Inicialmente, a urna possui as seguintes quantidades de fichas:

• Fichas brancas: $20$
• Fichas azuis: $30$
• Fichas vermelhas: $50$

O total de fichas na urna é a soma de todas elas: $20 + 30 + 50 = 100 \text{ fichas}$

Adicionando novas fichas

O gerente vai adicionar uma certa quantidade de fichas brancas à urna. Vamos chamar essa quantidade desconhecida de $x$.

Ao adicionar $x$ fichas brancas, duas coisas mudam na nossa urna:

1. A nova quantidade de fichas brancas passa a ser $20 + x$.
2. O novo total de fichas na urna passa a ser $100 + x$.

Calculando a probabilidade

A probabilidade de um evento ocorrer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Queremos que a probabilidade de retirar uma ficha branca seja superior a $50\%$ (ou seja, maior que $\frac{1}{2}$).

Montamos então a seguinte inequação: $\frac{20 + x}{100 + x} > \frac{1}{2}$

Como o número total de fichas ($100 + x$) é sempre positivo, podemos multiplicar cruzado sem nos preocuparmos em inverter o sinal da desigualdade: $2 \cdot (20 + x) > 1 \cdot (100 + x)$

Agora, aplicamos a propriedade distributiva e resolvemos a inequação: $40 + 2x > 100 + x$

Subtraindo $x$ de ambos os lados e subtraindo $40$ de ambos os lados, obtemos: $2x - x > 100 - 40$ $x > 60$

Conclusão

Descobrimos que a quantidade $x$ de fichas brancas a serem adicionadas deve ser estritamente maior que $60$. Como não podemos adicionar uma fração de ficha, $x$ deve ser um número inteiro.

O menor número inteiro que é maior que $60$ é $61$. Portanto, a quantidade mínima de fichas brancas que o gerente deve acrescentar à urna é $61$.