Questão 161 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar as dimensões de dois cilindros que possuem o mesmo volume. Vamos organizar as informações que o enunciado nos fornece sobre as caixas-d'água do tipo A e do tipo B.

Sabemos que ambas têm formato cilíndrico. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é dada pelo produto da área de sua base pela sua altura:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

O problema nos diz que os volumes são iguais, ou seja:

$V_A = V_B$

Além disso, temos as seguintes relações entre as dimensões das duas caixas:

• O raio da caixa A é $R_A = R$.
• A altura da caixa B é $25\%$ da altura da caixa A. Como $25\%$ é o mesmo que a fração $\frac{25}{100}$, que simplificada fica $\frac{1}{4}$, podemos escrever que $h_B = \frac{1}{4} h_A$.

Nosso objetivo é descobrir o valor do raio da caixa B, que chamaremos de $R_B$.

Agora, vamos substituir a fórmula do volume para cada uma das caixas na igualdade $V_A = V_B$:

$\pi \cdot (R_A)^2 \cdot h_A = \pi \cdot (R_B)^2 \cdot h_B$

Substituindo as informações que organizamos ($R_A = R$ e $h_B = \frac{1}{4} h_A$), a equação fica assim:

$\pi \cdot R^2 \cdot h_A = \pi \cdot (R_B)^2 \cdot \left(\frac{1}{4} h_A\right)$

Como os termos $\pi$ e $h_A$ aparecem multiplicando em ambos os lados da equação e sabemos que são diferentes de zero, podemos dividi-los (ou "cortá-los") para simplificar a expressão:

$R^2 = (R_B)^2 \cdot \frac{1}{4}$

Para isolar o termo $(R_B)^2$, passamos o $4$ que está dividindo para o outro lado multiplicando:

$(R_B)^2 = 4 \cdot R^2$

Como estamos lidando com medidas de comprimento (que são sempre positivas), basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar o valor de $R_B$:

$R_B = \sqrt{4 \cdot R^2}$

$R_B = 2R$

Isso significa que, para compensar o fato de a caixa B ser $4$ vezes mais baixa que a caixa A e ainda assim manter o mesmo volume, o seu raio precisa ser o dobro do raio da caixa A.

Portanto, o raio da caixa-d'água do tipo B é $2R$.