Questão 175 do ENEM 2018 — Matemática

Entendendo o problema

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, montando um sistema de equações. Sabemos que o valor total do automóvel é constante em todas as situações de pagamento. Vamos definir algumas variáveis para facilitar o nosso raciocínio:

• $V$: valor total do automóvel
• $N$: número inicial de parcelas
• $P$: valor de cada parcela inicial

Assim, a relação básica que temos é: $V = N \cdot P$

Montando as equações

O enunciado nos dá duas situações alternativas de pagamento.

Na primeira situação, se o prazo for aumentado em $5$ parcelas, o novo número de parcelas será $N + 5$. Nesse caso, o valor da parcela diminui em R$ 200,00, passando a ser $P - 200$. Como o valor total do carro não muda, podemos escrever: $V = (N + 5) \cdot (P - 200)$

Na segunda situação, se o prazo for diminuído em $4$ parcelas, teremos $N - 4$ parcelas. O valor de cada uma sobe R$ 232,00, tornando-se $P + 232$. Novamente, igualando ao valor total, temos: $V = (N - 4) \cdot (P + 232)$

Resolvendo o sistema

Agora, temos um sistema com três equações. Como todas as expressões são iguais a $V$, podemos igualar as duas situações alternativas à situação inicial.

Igualando a primeira situação à inicial: $N \cdot P = (N + 5) \cdot (P - 200)$

Aplicando a propriedade distributiva do lado direito: $N \cdot P = N \cdot P - 200N + 5P - 1000$

Podemos cancelar o termo $N \cdot P$ que aparece em ambos os lados: $0 = -200N + 5P - 1000$

Isolando o termo $5P$: $5P = 200N + 1000$

Dividindo toda a equação por $5$, obtemos uma expressão para $P$: $P = 40N + 200$

Agora, vamos igualar a segunda situação à inicial: $N \cdot P = (N - 4) \cdot (P + 232)$

Aplicando a distributiva novamente: $N \cdot P = N \cdot P + 232N - 4P - 928$

Cancelando $N \cdot P$ de ambos os lados: $0 = 232N - 4P - 928$

Isolando o termo $4P$: $4P = 232N - 928$

Dividindo toda a equação por $4$, obtemos outra expressão para $P$: $P = 58N - 232$

Como encontramos duas expressões diferentes para $P$, podemos igualá-las para encontrar o valor de $N$: $40N + 200 = 58N - 232$

Agora, basta resolver essa equação do primeiro grau. Vamos agrupar os termos com $N$ de um lado e os números do outro: $200 + 232 = 58N - 40N$ $432 = 18N$

Isolando $N$: $N = \frac{432}{18}$

Realizando a divisão, encontramos: $N = 24$

Portanto, a quantidade $N$ de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja é $24$.