Questão 161 do ENEM 2023 — Matemática

Para achar a taxa mensal de juros compostos desse financiamento, primeiro entendemos como as parcelas foram calculadas e depois igualamos o valor à vista ao valor presente de todas as parcelas.

O produto custa R$ 1.500,00 à vista. A loja aumenta esse valor em $20\%$ para definir o total financiado: $1.500 \times 1,20 = 1.800$ O total financiado é R$ 1.800,00, dividido em $3$ parcelas iguais: $\frac{1.800}{3} = 600$ Ou seja, três parcelas de R$ 600,00.

Agora analisamos o fluxo de pagamentos: a 1ª parcela é paga no ato da compra (entrada, tempo $0$), a 2ª em $30$ dias (um mês) e a 3ª em $60$ dias (dois meses). Para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes, o valor à vista deve igualar a soma das parcelas trazidas ao valor presente, descontando a taxa $i$: $1.500 = 600 + \frac{600}{(1+i)^1} + \frac{600}{(1+i)^2}$

Para facilitar, chamamos $(1+i)$ de $x$: $1.500 = 600 + \frac{600}{x} + \frac{600}{x^2}$

Subtraindo $600$ dos dois lados: $900 = \frac{600}{x} + \frac{600}{x^2}$

Dividindo tudo por $300$: $3 = \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}$

Multiplicando por $x^2$ (com $x \neq 0$): $3x^2 = 2x + 2$ $3x^2 - 2x - 2 = 0$

Chegamos a uma equação do 2º grau. Aplicando Bhaskara, calculamos o discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$

Então: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6}$

O enunciado manda usar $5,29$ como aproximação de $\sqrt{28}$: $x = \frac{2 \pm 5,29}{6}$

Como $x = 1+i$ e a taxa deve ser positiva, ficamos com a raiz positiva: $x = \frac{2 + 5,29}{6} = \frac{7,29}{6} = 1,215$

Como $x = 1+i$: $1 + i = 1,215 \Rightarrow i = 0,215$

Em porcentagem: $i = 21,5\%$

Portanto, a taxa mensal de juros compostos praticada é de $21,5\%$, alternativa D.