Questão 164 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a geometria da base da peça. O enunciado nos diz que a perfuração tem a forma de um cilindro circular reto e que ele é tangente às faces laterais do prisma. Isso significa que, se olharmos a peça de cima (ou seja, observando apenas a sua base), veremos um círculo inscrito em um triângulo.

As dimensões desse triângulo da base são $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. O nosso objetivo é encontrar o raio desse círculo inscrito, que corresponderá ao raio da perfuração.

Primeiramente, vamos analisar os lados do triângulo. Note que as medidas $6$, $8$ e $10$ formam um terno pitagórico, pois satisfazem o Teorema de Pitágoras: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $10^2 = 100$ Como $6^2 + 8^2 = 10^2$, podemos afirmar com certeza que a base do prisma é um triângulo retângulo, onde os catetos medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, e a hipotenusa mede $10\text{ cm}$.

Para encontrar o raio $r$ de um círculo inscrito em qualquer triângulo, podemos usar a relação entre a área do triângulo ($A$) e o seu semiperímetro ($p$): $A = p \cdot r$

Vamos calcular a área ($A$) do nosso triângulo retângulo. A área é a metade do produto dos catetos: $A = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}^2$

Agora, calculamos o semiperímetro ($p$), que é a metade do perímetro (a soma de todos os lados): $p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ cm}$

Substituindo os valores de $A$ e $p$ na fórmula, temos: $24 = 12 \cdot r$ $r = \frac{24}{12}$ $r = 2\text{ cm}$

Método Alternativo: Existe uma propriedade muito útil específica para círculos inscritos em triângulos retângulos. A soma dos catetos é igual à soma da hipotenusa com o diâmetro do círculo inscrito ($2r$). Ou seja: $\text{cateto}_1 + \text{cateto}_2 = \text{hipotenusa} + 2r$ $6 + 8 = 10 + 2r$ $14 = 10 + 2r$ $2r = 4$ $r = 2\text{ cm}$

Ambos os caminhos nos levam ao mesmo resultado. O raio da perfuração da peça é igual a $2\text{ cm}$.