Questão 168 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos entender a dinâmica financeira da microempresa. O objetivo é descobrir a quantidade mínima de pacotes que deve ser vendida para que não haja prejuízo. Em termos matemáticos, isso significa que o valor arrecadado com as vendas (Receita) deve ser maior ou igual aos gastos da empresa (Custo Total).

Entendendo os Custos e a Receita

Vamos chamar de $x$ a quantidade de pacotes de chaveiros vendidos no mês.

A Receita ($R$) é o dinheiro que entra. Como cada pacote é vendido por R$ 280,00, a receita em função do número de pacotes vendidos é dada por: $R(x) = 280x$

O Custo Total ($C$) é composto por duas partes: o custo fixo e o custo variável.

• O custo fixo é de R$ 12.800,00, que a empresa paga independentemente de quanto produz.
• O custo variável depende da quantidade de chaveiros produzidos. Sabemos que cada chaveiro custa R$ 0,42 para ser feito e que cada pacote contém $400$ chaveiros. Logo, o custo de produção de um único pacote é: $400 \times 0,42 = 168$ Ou seja, cada pacote custa R$ 168,00 para ser produzido.

Assim, a função do Custo Total em relação à quantidade de pacotes $x$ é: $C(x) = 12.800 + 168x$

Calculando o Ponto de Equilíbrio

Para que a empresa não tenha prejuízo, a Receita deve ser maior ou igual ao Custo Total: $R(x) \geq C(x)$

Substituindo as expressões que encontramos, montamos a seguinte inequação: $280x \geq 12.800 + 168x$

Agora, vamos isolar o $x$. Primeiro, passamos o $168x$ para o lado esquerdo subtraindo: $280x - 168x \geq 12.800$ $112x \geq 12.800$

Em seguida, dividimos ambos os lados por $112$: $x \geq \frac{12.800}{112}$ $x \geq 114,2857...$

Interpretando o Resultado

O resultado nos mostra que a empresa precisa vender, no mínimo, aproximadamente $114,28$ pacotes para empatar os custos com a receita. Como não é possível vender uma fração de pacote (ou seja, $x$ deve ser um número inteiro), precisamos analisar qual é o próximo número inteiro válido.

Se a empresa vender $114$ pacotes, a receita ainda será um pouco menor que o custo total, gerando prejuízo. Portanto, para garantir que não haverá prejuízo, devemos arredondar para cima. O menor número inteiro de pacotes que satisfaz essa condição é $115$.

Dessa forma, a microempresa deve vender no mínimo $115$ pacotes mensalmente.