Questão 153 do ENEM 2024 — Matemática

Uma pipa como a do modelo $ABCD$ é um deltoide: um quadrilátero em que uma das diagonais é o eixo de simetria da outra. A grande vantagem dessa forma é que suas diagonais se cruzam formando um ângulo reto, o que aparece indicado na figura pelo pequeno quadrado no ponto $E$. Para achar a área, então, basta descobrir o comprimento das duas diagonais $AC$ e $BD$.

O enunciado fornece:

• $AB = 20\text{ cm}$
• $BC = 34\text{ cm}$
• $CE = 30\text{ cm}$

Além disso, $E$ está sobre a diagonal $AC$ e é o ponto médio de $BD$, ou seja, $BE = ED$.

Encontrando a medida de $BE$

Como as diagonais $AC$ e $BD$ são perpendiculares em $E$ (conforme a figura), o triângulo $\triangle BCE$ é retângulo em $E$. Nele conhecemos a hipotenusa $BC = 34\text{ cm}$ e o cateto $CE = 30\text{ cm}$. Pelo Teorema de Pitágoras: $BC^2 = BE^2 + CE^2$ $34^2 = BE^2 + 30^2$ $1156 = BE^2 + 900$ $BE^2 = 256$ $BE = \sqrt{256} = 16\text{ cm}$

Como $E$ é o ponto médio de $BD$, a diagonal inteira vale o dobro: $BD = 2 \cdot BE = 2 \cdot 16 = 32\text{ cm}$

Encontrando a medida de $AE$

Agora olhamos para o triângulo $\triangle ABE$, também retângulo em $E$. Nele a hipotenusa é $AB = 20\text{ cm}$ e um dos catetos é $BE = 16\text{ cm}$. Aplicando Pitágoras para achar $AE$: $AB^2 = AE^2 + BE^2$ $20^2 = AE^2 + 16^2$ $400 = AE^2 + 256$ $AE^2 = 144$ $AE = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$

Como $E$ está sobre $AC$, a diagonal $AC$ é a soma de $AE$ com $CE$: $AC = AE + CE = 12 + 30 = 42\text{ cm}$

Calculando a área da pipa

Quando as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, sua área é a metade do produto dessas diagonais: $A = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{42 \cdot 32}{2} = 42 \cdot 16 = 672\text{ cm}^2$

Portanto, a medida da área desse modelo de pipa é $672\text{ cm}^2$, o que corresponde à alternativa E.