Questão 156 do ENEM 2021 — Matemática

Para achar a expressão do movimento da massa, precisamos ler no gráfico três coisas: a amplitude ($A$), o período ($T$) e a posição inicial (que decide se usamos seno ou cosseno e qual o sinal).

Amplitude

A amplitude é a maior distância da massa em relação à posição de equilíbrio ($P = 0$). No gráfico, a curva oscila simetricamente entre os valores máximo $+3$ e mínimo $-3$. Assim, o deslocamento máximo é

$A = 3.$

Período e frequência angular

O período é o tempo de um ciclo completo. Observando a curva, ela parte da posição mais baixa, sobe até o topo e volta ao ponto de partida ao longo de um intervalo de comprimento $\pi$ no eixo $t$. Logo,

$T = \pi.$

O enunciado fornece a relação

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2.$

Função e sinal

Falta decidir entre seno e cosseno, e o sinal. A chave é o instante $t = 0$. Pela figura, a mola parte distendida, na posição mais baixa, ou seja, $P(0) = -3$. Vamos testar as formas dadas no enunciado:

• Seno: $P(t) = \pm A\,\mathrm{sen}(\omega t)$ daria $P(0) = \pm A\,\mathrm{sen}(0) = 0$. Como a curva não começa em zero, descartamos o seno.
• Cosseno positivo: $P(t) = A\cos(\omega t)$ daria $P(0) = A\cos(0) = +3$, ou seja, começaria no topo. Não é o caso.
• Cosseno negativo: $P(t) = -A\cos(\omega t)$ daria $P(0) = -A\cos(0) = -3$. Isso bate com o gráfico, que começa no ponto mais baixo.

Expressão final

Juntando $A = 3$, $\omega = 2$ e a forma cosseno negativo:

$P(t) = -3\cos(2t).$

Essa é a alternativa A.